Bài 4.4 trang 73 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước để các em học sinh tham khảo.

I. Đề bài tập 4.4 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 73)

Cho hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là$3$và$\sqrt{3}$. Tính góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác)

II. Phương pháp giải và công thức toán cần nhớ

Để tìm được số đo của một góc nhọn khi đã biết trước độ dài của hai cạnh góc vuông trong tam giác vuông, quy trình xử lý gồm hai bước sau:

1. Thiết lập tỷ số lượng giác: Xác định vị trí của hai cạnh đã biết so với góc nhọn cần tính. Ở đây, chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đóng vai trò là cạnh đối diện và cạnh kề của góc nhọn trong tam giác vuông. Do đó, tỉ số lượng giác phù hợp nhất là Tang ($\tan$):

   $$\tan = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}}$$

2. Tra cứu số đo góc: Từ giá trị số thực của $\tan$ vừa tính được, học sinh tiến hành đối chiếu với bảng giá trị lượng giác đặc biệt hoặc sử dụng phím bấm hàm ngược ($\tan^{-1}$) trên máy tính bỏ túi để suy ra số đo độ của góc nhọn.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.4 Toán 9

Ta có hình vẽ như sauL

• Bước 1: Mô hình hóa các đại lượng hình học

  Gọi hình chữ nhật đã cho là $ABCD$ (với các góc vuông tại $A, B, C, D$). Theo giả thiết:

  • Chiều dài hình chữ nhật là cạnh: $CD = 3$

  • Chiều rộng (cạnh ngắn hơn) hình chữ nhật là cạnh: $AD = \sqrt{3}$

  • Đường chéo của hình chữ nhật là đoạn thẳng $AC$.

  • Gọi $\alpha$ là góc nhọn tạo bởi đường chéo $AC$ và cạnh ngắn hơn $AD$. Như vậy, góc cần tính chính là góc $\widehat{CAD} = \alpha$.

• Bước 2: Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông

  Xét tam giác $ACD$ vuông tại đỉnh $D$. Đối với góc nhọn $\alpha$, ta xác định được:

  • Cạnh đối diện là cạnh chiều dài $CD = 3$.

  • Cạnh kề là cạnh chiều rộng $AD = \sqrt{3}$.

  Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác tang cho góc nhọn $\alpha$, ta thiết lập được biểu thức hằng số:

  $$\tan \alpha = \frac{CD}{AD}$$

• Bước 3: Tính toán và suy ra số đo góc

  Tiến hành thế các giá trị định lượng của cạnh vào phân thức:

  $$\tan \alpha = \frac{3}{\sqrt{3}}$$

  Thực hiện trục căn thức ở mẫu bằng cách nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{3}$, ta thu được giá trị tối giản:

  $$\tan \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$

  Dựa vào bảng giá trị lượng giác đặc biệt ở trang 69 sách giáo khoa, ta biết rằng giá trị $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$.

  $$\Rightarrow \alpha = 60^\circ$$

Kết luận cuối cùng: Góc tạo bởi đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật đã cho bằng $60^\circ$.

IV. Mẹo tránh lỗi xác định sai góc nhọn

Một trong những lỗi sai phổ biến nhất của học sinh khi làm bài toán này là xác định nhầm góc cần tính, dẫn đến việc lập công thức lượng giác bị đảo ngược mẫu số.

• Nhận diện lỗi sai: Nhiều học sinh sau khi đọc lướt đề bài chỉ thấy chữ "góc giữa đường chéo và cạnh" liền chọn ngay góc giữa đường chéo và cạnh dài (tức là góc $\widehat{ACD}$). Lúc này, công thức sẽ bị đảo lại thành $\tan = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow$ tính ra góc bằng $30^\circ$ (sai hoàn toàn so với yêu cầu đề bài).

• Mẹo xử lý an toàn: Quy tắc để vẽ hình chính xác là bám sát từ ngữ định tính của đề bài. Đề ghi rõ "cạnh ngắn hơn", người học nên dùng bút gạch chân chữ "ngắn hơn" và ký hiệu góc ôm sát vào cạnh rộng của hình chữ nhật. Việc vẽ hình chính xác và gọi tên góc rõ ràng ngay từ bước đầu tiên sẽ giúp quá trình biến đổi đi đúng hướng và chốt đáp án chính xác 100%.