Bài 3.31 trang 64 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước giúp để các em tham khảo.

I. Đề bài tập 3.31 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 64)

Rút gọn các biểu thức sau:

• a) $\sqrt[3]{(-x-1)^3}$

• b) $\sqrt[3]{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1}$

II. Các công thức và hằng đẳng thức toán cần nhớ

Để giải quyết nhanh gọn và chính xác bài toán này, các em học sinh của Hay Học Hỏi cần làm chủ hai công cụ đại số nền tảng sau:

1. Hằng đẳng thức căn bậc ba tổng quát: Với mọi biểu thức đại số $A$ bất kỳ, ta luôn có:

   $$\sqrt[3]{A^3} = A$$

   Lưu ý quan trọng: Đối với căn bậc ba, chúng ta hoàn toàn không cần đặt dấu giá trị tuyệt đối $|A|$ và không cần quan tâm biểu thức $A$ âm hay dương. Căn bậc ba số học của một số âm vẫn là số âm, của một số dương vẫn là số dương. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với hằng đẳng thức $\sqrt{A^2} = |A|$ của căn bậc hai.

2. Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu (Toán lớp 8):

   $$(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.31

Câu a) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{(-x-1)^3}$

• Phân tích toán học: Biểu thức dưới dấu căn đã được viết sẵn dưới dạng một lũy thừa bậc ba hoàn chỉnh: $A^3 = (-x-1)^3$. Do đó, ta chỉ cần áp dụng trực tiếp quy tắc khử căn bậc ba mà không cần biến đổi gì thêm.

• Lời giải chi tiết:

  $$\sqrt[3]{(-x-1)^3} = -x - 1$$

Kết luận câu a: Biểu thức sau khi rút gọn bằng $-x - 1$.

Câu b) Rút gọn biểu thức $\sqrt[3]{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1}$

• Phân tích toán học: Nhìn vào đa thức dưới dấu căn $\left(8x^3 - 12x^2 + 6x - 1\right)$, ta thấy có cấu trúc giảm dần của lũy thừa bậc 3, bậc 2, bậc 1. Đây chính là dạng khai triển của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu.

• Ta tiến hành đồng nhất thức để thu gọn đa thức này:

  • Hạng tử đầu tiên: $8x^3 = (2x)^3 \Rightarrow A = 2x$.

  • Hạng tử cuối cùng: $1 = 1^3 \Rightarrow B = 1$.

  • Kiểm tra các hạng tử trung gian: $-3 \cdot (2x)^2 \cdot 1 = -12x^2$ và $3 \cdot (2x) \cdot 1^2 = 6x$ (hoàn toàn trùng khớp với đề bài).

    Do đó: $8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 = (2x - 1)^3$.

• Lời giải chi tiết:

  $$\sqrt[3]{8x^3 - 12x^2 + 6x - 1} = \sqrt[3]{(2x - 1)^3}$$

  Áp dụng hằng đẳng thức khử căn bậc ba, ta được:

  $$= 2x - 1$$

Kết luận câu b: Biểu thức sau khi rút gọn bằng $2x - 1$.

IV. Mẹo tránh sai "Trị tuyệt đối" (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh không bị mất điểm oan, Hay Học Hỏi nhấn mạnh một lỗi mà rất nhiều em mắc phải sau:

• Lỗi sai thường gặp: Do học sinh đã làm quá nhiều bài tập về căn bậc hai ở đầu năm lớp 9, nên khi nhìn thấy câu b $\sqrt[3]{(2x-1)^3}$, rất nhiều bạn vội vàng viết thành $|2x - 1|$, sau đó loay hoay đi tìm điều kiện của $x$ để phá dấu trị tuyệt đối (như xét $x \ge \frac{1}{2}$ hoặc $x < \frac{1}{2}$). Điều này vừa làm bài toán bị sai bản chất, vừa gây mất thời gian vô ích.

• Mẹo nhẩm nhanh: Hãy luôn nhớ cách phân biệt bậc của căn: "Căn bậc chẵn có trị tuyệt đối - Căn bậc lẻ giữ nguyên dấu". Cứ nhìn thấy dấu căn có số 3 ở trên đầu ($\sqrt[3]{\dots}$), các em cứ tự tin phá bỏ mũ 3 và mũ căn đồng thời, giữ nguyên xi biểu thức lõi bên trong làm đáp án. Mẹo tư duy này giúp các em chốt đáp án trắc nghiệm chính xác 100% chỉ trong vòng đúng 1 giây!

V. Kết luận

Bài tập 3.31 trang 64 giúp các em củng cố lại mối liên hệ chặt chẽ giữa các hằng đẳng thức đại số lớp 8 và các phép toán căn thức lớp 9. Việc nắm vững các quy tắc này giúp các em tự tin xử lý các bài toán hệ phương trình, phương trình vô tỷ ở các chương sau.