Bài 3.29 trang 64 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức: Tính giá trị biểu thức

Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước cho cả 4 câu a, b, c, d giúp các em hiểu rõ cách phân tích và biến đổi các biểu thức.

I. Đề bài tập 3.29 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 64)

Tính giá trị của các biểu thức sau:

• a) $A = 3\sqrt{45}+\frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}}-2\sqrt{245}$

• b) $B = \frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{7}$

• c) $C = \frac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\sqrt{3}(2\sqrt{3}-1)+\sqrt{12}$

• d) $D = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}-\frac{6}{\sqrt{6}}$

II. Các công thức biến đổi căn thức cần nhớ

Để xử lý trọn vẹn bài toán, các em học sinh của Hay Học Hỏi cần áp dụng linh hoạt các công thức bổ trợ sau:

• Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{A^2 \cdot B} = A\sqrt{B}$ (với $A \ge 0$).

• Chia hai căn bậc hai: $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A}{B}}$.

• Trục căn thức bằng lượng liên hợp: $\frac{1}{\sqrt{A}-B} = \frac{\sqrt{A}+B}{A - B^2}$.

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 3.29

Câu a) Tính giá trị biểu thức $A = 3\sqrt{45}+\frac{5\sqrt{15}}{\sqrt{3}}-2\sqrt{245}$

• Phương pháp giải: Ta phân tích các biểu thức dưới dấu căn thành tích của các số chính phương: $45 = 3^2 \cdot 5$; $245 = 7^2 \cdot 5$. Ở hạng tử giữa, ta thực hiện chia hai căn bậc hai: $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}$.

• Lời giải chi tiết:

  $$A = 3\sqrt{3^2 \cdot 5} + 5 \cdot \sqrt{\frac{15}{3}} - 2\sqrt{7^2 \cdot 5}$$
  $$A = 3 \cdot 3\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 2 \cdot 7\sqrt{5}$$
  $$A = 9\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 14\sqrt{5}$$
  $$A = (9 + 5 - 14)\sqrt{5} = 0 \cdot \sqrt{5} = 0$$

Câu b) Tính giá trị biểu thức $B = \frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-1}-\frac{\sqrt{21}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1}+\sqrt{7}$

• Phương pháp giải: Nhìn vào các phân thức, ta thấy tử số có thể đặt nhân tử chung để rút gọn trực tiếp cho mẫu số mà không cần nhân lượng liên hợp phức tạp:

  • Phân thức 1: $\sqrt{12}-\sqrt{4} = \sqrt{4 \cdot 3} - 2 = 2\sqrt{3}-2 = 2(\sqrt{3}-1)$.

  • Phân thức 2: $\sqrt{21}+\sqrt{7} = \sqrt{7 \cdot 3} + \sqrt{7} = \sqrt{7}(\sqrt{3}+1)$.

• Lời giải chi tiết:

  $$B = \frac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{7}\sqrt{3}+\sqrt{7}}{\sqrt{3}+1} + \sqrt{7}$$
  $$B = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{7}(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}+1} + \sqrt{7}$$
  $$B = 2 - \sqrt{7} + \sqrt{7} = 2$$

Câu c) Tính giá trị biểu thức $C = \frac{3-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}+\sqrt{3}(2\sqrt{3}-1)+\sqrt{12}$

• Phương pháp giải: Ở phân thức đầu tiên, ta biến đổi tử số $3-\sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 - \sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{3}-1) = -\sqrt{3}(1-\sqrt{3})$ để triệt tiêu cho mẫu. Ở các hạng tử sau, ta thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn căn số $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

• Lời giải chi tiết:

  $$C = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{-( \sqrt{3}-1 )} + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{4 \cdot 3}$$
  $$C = -\sqrt{3} + 2 \cdot 3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$
  $$C = -\sqrt{3} + 6 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3}$$
  $$C = (-1 - 1 + 2)\sqrt{3} + 6 = 0\sqrt{3} + 6 = 6$$

d) Tính giá trị biểu thức $D = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}-\frac{6}{\sqrt{6}}$

• Phương pháp giải: Phép toán này yêu cầu trục căn thức ở mẫu cho từng hạng tử độc lập:

  • Phân thức 1: Nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{2}$.

  • Phân thức 2: Nhân cả tử và mẫu với lượng liên hợp $(\sqrt{3}+1)$.

  • Phân thức 3: Thu gọn nhanh $\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{6})^2}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$.

• Lời giải chi tiết:

  $$D = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} + \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} - \sqrt{6}$$
  $$D = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} - \sqrt{6}$$
  $$D = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{3 - 1} - \sqrt{6}$$
  $$D = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} - \sqrt{6}$$

  Tiến hành đưa về cùng một mẫu số chung là $2$:

  $$D = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2}$$
  $$D = \frac{(1 + 1 - 2)\sqrt{6} + (-1 + 1)\sqrt{2}}{2} = \frac{0}{2} = 0$$

IV. Mẹo nhận diện nhanh phân thức rút gọn (Dành cho thi trắc nghiệm)

Để giúp các em học sinh có thể nhận biết dạng toán nhanh, Hay Học Hỏi chia sẻ một mẹo quan sát cấu trúc tử mẫu rất đắt giá sau:

• Mẹo "Nhìn tử đoán mẫu": Khi gặp một phân thức có dạng $\frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ hoặc $\frac{x - \sqrt{x}}{1 - \sqrt{x}}$, các em tuyệt đối không nên tốn thời gian nhân chéo lượng liên hợp dài dòng.

• Hãy luôn nhớ bản chất số thực $x = (\sqrt{x})^2$. Từ đó, chỉ cần đặt nhân tử chung $\sqrt{x}$ ra ngoài, tử số sẽ lập tức xuất hiện ngoặc giống hệt mẫu số (hoặc chỉ lệch nhau một dấu trừ).

• Áp dụng nhẩm nhanh câu c: Biểu thức $\frac{3 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$. Đặt luôn $-\sqrt{3}$ ở tử ra ngoài, ta được $\frac{-\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} = -\sqrt{3}$. Phép tính rút gọn chỉ trong vòng đúng 2 giây, giúp các em tiết kiệm thời gian làm các câu phân hóa khác!

V. Kết luận

Bài tập 3.29 trang 64 là một câu hỏi thực hành tính toán căn số mẫu mực, giúp các em bao quát và kết hợp nhuần nhuyễn nhiều kỹ năng biến đổi đại số cùng một lúc. Việc rèn luyện tính cẩn thận trong các bước đổi dấu lượng liên hợp và phân tích nhân tử sẽ giúp các em học sinh tự tin chinh phục điểm số cao trong các bài kiểm tra định kỳ sắp tới.