Bài 4.2 trang 73 Toán 9 tập 1 Kết nối tri thức

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết từng bước dựa trên hình vẽ minh họa để các em tham khảo.

I. Đề bài tập 4.2 (SGK Toán 9 Tập 1 - Trang 73)

Cho tam giác vuông có một góc nhọn $60^\circ$ và cạnh kề với góc $60^\circ$ bằng $3\text{ cm}$. Hãy tính cạnh đối của góc này.

II. Phương pháp giải và định nghĩa lượng giác

Để tìm được độ dài một cạnh trong tam giác vuông khi đã biết trước một góc nhọn và một cạnh thành phần, chúng ta cần áp dụng hệ thức lượng giác liên kết trực tiếp giữa chúng:

• Định nghĩa tỉ số lượng giác Tang ($\tan$):

  Trong một tam giác vuông, tỉ số lượng giác tang của một góc nhọn được tính bằng thương số giữa độ dài cạnh đối diện và độ dài cạnh kề của góc nhọn đó.

  $$\tan = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}}$$

• Mẹo ghi nhớ dân gian: "Tang: đoàn kết (đối trên kề)". Từ hệ thức này, khi muốn tìm độ dài cạnh đối diện, ta chỉ cần lấy độ dài cạnh kề nhân với giá trị tang của góc nhọn tương ứng:

  $$\text{Cạnh đối} = \text{Cạnh kề} \times \tan(\text{Góc nhọn})$$

III. Hướng dẫn giải chi tiết bài 4.2

Dựa vào dữ kiện đề bài và hình vẽ, ta tiến hành gọi tên các yếu tố hình học của tam giác vuông để lập luận như sau:

• Bước 1: Vẽ hình như trên

  Xét tam giác $ABC$ vuông tại đỉnh $A$ có:

  • Góc nhọn cho trước: $\widehat{C} = 60^\circ$

  • Cạnh kề với góc $\widehat{C}$ là cạnh $AC = 3\text{ cm}$.

  • Cạnh đối diện với góc $\widehat{C}$ là cạnh $AB$ (đây là đại lượng cần tính độ dài).

• Bước 2: Thiết lập hệ thức lượng giác

  Áp dụng định nghĩa tỉ số lượng giác tang cho góc nhọn $\widehat{C}$ trong tam giác vuông $ABC$, ta có hệ thức:

  $$\tan C = \frac{AB}{AC}$$

• Bước 3: Biến đổi đại số và tính toán

  Từ hệ thức trên, ta cô lập đại lượng cạnh đối diện $AB$ bằng phép tính:

  $$AB = AC \times \tan C$$

  Tiến hành thay các giá trị định lượng $AC = 3$ và $\widehat{C} = 60^\circ$ vào biểu thức:

  $$AB = 3 \times \tan 60^\circ$$

  Tra bảng lượng giác hoặc sử dụng máy tính cầm tay, ta biết giá trị đặc biệt của $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$. Thay vào hệ thức ta được kết quả:

  $$AB = 3\sqrt{3}\text{ cm}$$

Kết luận cuối cùng: Độ dài cạnh đối diện của góc nhọn $60^\circ$ trong tam giác vuông đã cho bằng $3\sqrt{3}\text{ cm}$ (xấp xỉ bằng $5,20\text{ cm}$).

Xét ∆ABC có $\widehat{B}=60^o$ cạnh kề với góc B là AB = 3 cm. Ta cần tính cạnh đối của góc B là AC.

Theo định nghĩa tỉ số lượng giác tan, ta có: tanB = AC/AB 

Suy ra: AC = AB.tanB = 3tan60^o = $3\sqrt{3}$ (cm)

Vậy cạnh đối của góc nhọn 60° là $3\sqrt{3}$ (cm)

IV. Kết luận

Bài tập 4.2 trang 73 giúp các em ghi nhớ mối liên hệ giữa góc và cạnh trong tam giác vuông thông qua tỷ số lượng giác. Việc nhận diện cạnh đối - cạnh kề sẽ là kiến thức vững chắc giúp các em xử lý tốt các bài toán giải tam giác vuông và tính chiều cao vật thể ở các bài học tiếp theo.