Hotline0936685849

Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng - Toán lớp 9

20:39:07Cập nhật: 05/09/2025

Chào các em! Trong chương trình Toán, đặc biệt là ở cấp THCS, việc giải các bài toán về căn thức là một nội dung quan trọng. Có nhiều dạng bài tập về căn thức như rút gọn, tính giá trị, nhưng trong bài viết này, chúng ta sẽ tập trung vào một dạng toán trọng tâm: giải phương trình chứa dấu căn. Bài viết sẽ trình bày các phương pháp giải phổ biến, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để các em rèn luyện kỹ năng.

I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

• $small A^{2}=B^2Leftrightarrow A=pm B$

• small sqrt{A}+sqrt{B}=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix}
ight.

• small sqrt{A}=sqrt{B}Leftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0: (hay: Bgeq 0) A= B end{matrix}
ight.

• $small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^2 end{matrix} ight.$

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0 A=B end{matrix}
ight.: hay: left{egin{matrix} A< 0 A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B: hay: A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=left | B
ight |Leftrightarrow A=B: hay: A=-B

• small left | A
ight |+left | B
ight |=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix}
ight.

• $small sqrt{A^2}=BLeftrightarrow left | A ight |=B$

• small left | A
ight |=left{egin{matrix} A,: khi : Ageq 0 -A,: khi: A< 0 end{matrix}
ight.

• small sqrt{A.B}=sqrt{A}.sqrt{B}, : (Ageq 0,Bgeq 0)

• $small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}, : (Ageq 0,B> 0)$

II. Cách giải Phương trình có chứa dấu căn

1. Giải phương trình chứa căn thức dạng: với e ≥ 0 là hằng số

i) Trường hợp: small f(x)=ax+b hoặc $small f(x)=frac{ax+b}{cx+d}$ thì:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) ≥ 0

+ Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* Ví dụ 1: Tìm x?

a) small sqrt{16x}=8

b) small sqrt{4x}=sqrt{5}

c) small sqrt{9(x-1)}=21

d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$

° Lời giải:

a) small sqrt{16x}=8 (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

small (*)Leftrightarrow 16x=8^2Leftrightarrow 16x=64Leftrightarrow x=4

- Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 4.

b) small sqrt{4x}=sqrt{5} (*)

- Điều kiện: x ≥ 0, khi đó bình phương 2 vế ta có:

$small (*)Leftrightarrow 4x=5Leftrightarrow x=frac{5}{4}$

- Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 5/4.

c) small sqrt{9(x-1)}=21 (*)

- Điều kiện: x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1; khi đó ta có (ở bày này ta có thể rút gọn hệ số trước khi bình phương 2 vế):

small (*)Leftrightarrow sqrt{9}.sqrt{(x-1)}=21Leftrightarrow 3sqrt{x-1}=21

$small Leftrightarrow sqrt{x-1}=7Leftrightarrow (x-1)=7^2$ small Leftrightarrow x-1=49Leftrightarrow x=50

- Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện nên pt có nghiệm x = 50.

d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$ (*)

- Vì (1 - x)² ≥ 0 ∀x nên pt xác định với mọi giá trị của x.

$small (*)Leftrightarrow sqrt{4(1-x)^2}=6Leftrightarrow 2left | 1-x ight |=6Leftrightarrow left | 1-x ight |=3$

small Leftrightarrow left [egin{matrix} 1-x=3 1-x=-3 end{matrix}
ight.Leftrightarrow left [egin{matrix} x=-2 x=4 end{matrix}
ight.

→ Vậy phương trình có 2 nghiệm x = -2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$

b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$

° Lời giải:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ (*)

- Điều kiện: $small frac{2x-3}{x-1}geq 0Leftrightarrow x<1: hay : xgeq frac{3}{2}$

- Khi đó bình phương 2 vế ta được:

$small frac{2x-3}{x-1}=4Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

- Đối chiếu điều kiện (x < 1 hoặc x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện, nên ta nhận nghiệm này. Kết luận pt có nghiệm x = 1/2.

b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$ (*)

- Điều kiện: $\small \left\{\begin{matrix} 2x-3\geq 0\\ 2x-1>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{3}{2}\\ x>\frac{1}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq \frac{3}{2}$

- Khi đó bình phương 2 vế ta được:

$small (*)Leftrightarrow frac{2x-3}{x-1}=4 Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

- Đối chiếu điều kiện (x ≥ 3/2) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận pt vô nghiệm.

ii) Trường hợp: (*) thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+) Nếu f(x) = ax² + bx + c = (Ax ± B)² tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là:

$\small \sqrt{f(x)}=e\Leftrightarrow \sqrt{(Ax\pm B)^2}=e$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} Ax\pm B=e\\ Ax\pm B=-e \end{matrix} \right.\Rightarrow x=?$

+) Nếu small f(x)=ax^2+bx+c không có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Điều kiện f(x) ≥ 0

- Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

- Bước 3:Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* Ví dụ 1:Giải phương trình sau: $dpi{100} fn_cm small sqrt{2x^2-8x+8}=3sqrt{2}$ (*)

° Lời giải:

- Vì: 2x² - 8x + 8 = 2(x² - 4x + 4) = 2(x - 2)² nên ta có:

$small (*) Leftrightarrow sqrt{2(x-2)^2}=3sqrt{2} Leftrightarrow sqrt{2}.sqrt{(x-2)^2}=3sqrt{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-2)^2}=3Leftrightarrow left | x-2 ight |=3$ small Leftrightarrow left [egin{matrix} x-2=3 x-2=-3 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=5 x=-1 end{matrix}
ight.

* Ví dụ 2:Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-4x+6}=sqrt{11}$ (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: x² - 4x + 6 = x² - 4x + 4 + 2 = (x - 2)² + 2 không có dạng (Ax ± B)²nên ta thực hiện như sau:

- Điều kiện: x² - 4x + 6 ≥ 0 ⇔ (x - 2)² + 2 ≥ 0 ∀x nên biểu thức xác định với mọi giá trị của x.

- Bình phương 2 vế phương trình ta được:

(x - 2)² + 2 = 11 ⇔ (x - 2)²= 9 small Leftrightarrow left [egin{matrix} x-2=3 x-2=-3 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=5 x=-1 end{matrix}
ight.

- Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = -1 và x = 5.

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng:

* Phương pháp giải:

- Bước 1: Viết điều kiện của phương trình: small left{egin{matrix} f(x)geq 0 g(x)geq 0 end{matrix}
ight.

- Bước 2: Nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.

¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax ± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)²] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax² + Bx + C và g(x) = Ex² + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

- Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện không sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-5)^2}=3-xLeftrightarrow left | x-5 ight |=3-x$

small Leftrightarrowleft [egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-5=3-x end{matrix}
ight. left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-5=-(3-x )end{matrix}
ight. end{matrix}
ight. Leftrightarrowleft [egin{matrix} left{egin{matrix} x leq 3 x=4 end{matrix}
ight. left{egin{matrix} x leq 3 -2=0 end{matrix}
ight. end{matrix}
ight.

- Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$ (*)

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$

small Leftrightarrow left [egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-3=3-x end{matrix}
ight. egin{matrix} left{egin{matrix} 3-xgeq 0 x-3=-(3-x) end{matrix}
ight. end{matrix} end{matrix}
ight. left [egin{matrix} left{egin{matrix} xleq 3 x=3 end{matrix}
ight. egin{matrix} left{egin{matrix} xleq 3 0.x=0 end{matrix}
ight. end{matrix} end{matrix}
ight.Leftrightarrow xleq 3

- Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≤ 3.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau: small sqrt{2x-3}=x-1

° Lời giải:

- Điều kiện: $small left{egin{matrix} 2x-3geq 0 x-1geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeqfrac{3}{2} xgeq 1 end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq frac{3}{2}$

- Bình phương 2 vế ta được:

2x - 3 = (x - 1)²

⇔ 2x - 3 = x² - 2x + 1

⇔ x² - 4x + 4 = 0

⇔ (x - 2)² = 0

⇔ x = 2.

- Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 2 thỏa điều kiện nên phương trình nhận nghiệm này.

- Phương trình có nghiệm x = 2.

* Ví dụ 4: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-5x-6}=x-2$ (*)

° Lời giải:

- Ta thấy: f(x) = x² - 5x - 6 không có dạng hằng đẳng thức (Ax ± B)² (và vế phải là dạng hàm bậc 1) nên để khử căn ta dùng phương pháp bình phương 2 vế.

- Điều kiện: $small left{egin{matrix} x^2-5x-6geq0 x-2geq0 end{matrix} ight.$ khi đó ta bình phương 2 vế được:

small (*)Leftrightarrow x^2-5x-6=(x-2)^2

small Leftrightarrow x^2-5x-6=x^2-4x+4Leftrightarrow x = -10

- Kiểm tra x = -10 có thỏa mãn điều kiện không bằng cách thay giá trị này vào các biểu thức điều kiện thấy không thỏa

→ Vậy phương trình vô nghiệm.

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: $small sqrt{[f(x)]^2}pm sqrt{[h(x)]^2}=g(x)$

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn ≥ 0.

- Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối: |f(x)| ± |h(x)| = g(x).

- Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình: small sqrt{x+4-4sqrt{x}}-sqrt{x+9-6sqrt{x}}=1 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0.

- Mặt khác, ta thấy: $small {x+4-4sqrt{x}}=(sqrt{x}-2)^2$ và $small {x+9-6sqrt{x}}=(sqrt{x}-3)^2$ nên ta có:

small (*)Leftrightarrow left | sqrt{x}-2
ight |-left | sqrt{x}-3
ight |=1 (**)

- Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+) TH1: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2geq 0 sqrt{x}-3geq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow sqrt{x}geq 3Leftrightarrow xgeq 9 , ta có:

small (**)Leftrightarrow sqrt{x}-2-sqrt{x}+3=1Leftrightarrow 0.sqrt{x}=0

⇒ Phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

+) TH2: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2geq 0 sqrt{x}-3< 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeq 4 x< 9 end{matrix}
ight.Leftrightarrow 4leq x< 9 , ta có:

small (**)Leftrightarrow left ( sqrt{x}-2
ight )-(3-sqrt{x})Leftrightarrow 2sqrt{x}=6Leftrightarrow x=9

- Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại.

+) TH3: Nếu small small left{egin{matrix} sqrt{x}-2< 0 sqrt{x}-3geq 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x< 4 xgeq 9 end{matrix}
ight.Leftrightarrow xin varnothing

+) TH4: Nếu small left{egin{matrix} sqrt{x}-2< 0 sqrt{x}-3< 0 end{matrix}
ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x< 4 x< 9 end{matrix}
ight.Leftrightarrow x< 4 , ta có:

small (**)Leftrightarrow (2-sqrt{x})-(3-sqrt{x})=1Leftrightarrow 0.sqrt{x}=2

→ Phương trình vô nghiệm.

⇒ Kết luận: Vậy phương trình có vô số nghiệm x ≥ 9.

* Ví dụ 2: Giải phương trình: small sqrt{x+3-4sqrt{x-1}}+sqrt{x+8-6sqrt{x-1}}=4

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 1

- Nhận thấy: $small x+3-4sqrt{x-1}=(x-1)-4sqrt{x-1}+4=(sqrt{x-1}-2)^2$

$small x+8-6sqrt{x-1}=(x-1)-6sqrt{x-1}+9=(sqrt{x-1}-3)^2$

- Đến đây xét các trường hợp giải tương tự ví dụ 1 ở trên.

4. Cách giải một số phương trình chứa căn khác.

i) Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình chứa dấu căn.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: small x-3sqrt{x}+2=0 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x ≥ 0

Đặt $small sqrt{x}=t,: (tgeq 0)Rightarrow x=t^2$ khi đó ta có pt (*) trở thành:

$small t^{2}-3t+2=0Leftrightarrow (t-1)(t-2)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=1 t=2 end{matrix} ight.$

- Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện nên ta có:

small t=1 Rightarrow sqrt{x}=1Rightarrow x=1

small t=2 Rightarrow sqrt{x}=2Rightarrow x=4

(Cách giải pt bậc 2 một ẩn các em sẽ học ở nội dung bài chương sau).

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: small sqrt{x-2}+sqrt{x+3}=5 (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: small left{egin{matrix} x-2geq 0 x+3geq 0 end{matrix}
ight.Leftrightarrow xgeq 2

Đặt $small sqrt{x-2}=t,(tgeq 0)Rightarrow x-2=t^{2}Rightarrow x=t^2+2$ , khi đó pt(*) trở thành:

$small t+sqrt{t^{2}+5}=5 Leftrightarrow sqrt{t^{2}+5}=5-t,: (**)$

- Ta thấy pt(**) có dạng ở mục 2) loại 3; với điều kiện 5 - t ≥ 0 ⇔ t ≤ 5; ta bình phương 2 vế (**) được:

t² + 5 = (5 - t)² ⇔ t² + 5 = t² - 10t + 25 ⇔ 10t = 20 ⇔ t= 2

- Với t = 2 thỏa điều kiện 0≤ t ≤ 5 nên ta có:

small sqrt{x-2}=2Leftrightarrow x-2=4Leftrightarrow x=6

→ Phương trình có nghiệm x = 6.

* Ví dụ 3: Giải phương trình sau: $\small x^2-2x+3\sqrt{x^2-2x-3}=13$ (*)

° Lời giải:

- Điều kiện: x² - 2x - 3 ≥ 0. Khi đó ta có:

$small (*)Leftrightarrow x^2-2x-3+3sqrt{x^2-2x-3}-10=0(**)$

Đặt $small sqrt{x^2-2x-3}=t,: (tgeq 0)Rightarrow t^{2}=x^2-2x-3$ khi đó pt(**) trở thành:

$small t^2+3t-10=0Leftrightarrow (t-2)(t+5)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=2 t=-5 end{matrix} ight.$

- Đối chiếu điều kiện thì t = -5 loại và t = 2 nhận.

Với t = 2 ⇒ x² - 2x - 3 = 4 ⇔ x² - 2x - 7 = 0 ⇔ (x² - 2x + 1) - 8 = 0.

$small Leftrightarrow (x-1)^2=8Leftrightarrow left [egin{matrix} x-1=2sqrt{2} x-1=-2sqrt{2} end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=1+2sqrt{2} x=1-2sqrt{2} end{matrix} ight.$

- Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện nên pt có 2 nghiệm. x = 1 ± 2√2.

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới dấu căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình chứa căn thức.

- Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: $small sqrt{[f(x)]^2+c}+sqrt{[h(x)]^2+d}=pm [g(x)]^2+e$ (với c,d>0 và c+d=e)

- PT có thể cho ngay dạng này hoặc có thể tách một hệ số nào đó để có [f(x)]²; [h(x)]² hay [g(x)]²;

* Ví dụ: Giải phương trình sau: $small sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^4-10x^2+30}=8$ (*)

° Lời giải:

- Ta nhận thấy:

small 3x^2+6x+12=3(x^2+2x+1)+9=3(x+1)^2+9geq 9

$small Rightarrow sqrt{3(x+1)^2+9}geq 3$

small 5x^4-10x^2+30=5(x^4-2x^2+1)+25=5(x^2-1)^2+25geq 25

$small Rightarrow sqrt{5(x^2-1)^2+25}geq 5$

- Do đó: $sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^2-10x+30}geq 8$ dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$small left{egin{matrix} sqrt{3x^2+6x+12}=3 sqrt{5x^4+6x^2+12}=5 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 3(x+1)^2+9=9 5(x^2-1)^2+25=25 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x+1=0 x^2-1=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow x=-1$

→ Vậy phương trình có nghiệm x = -1.

III. Một số bài tập về phương trình có chứa dấu căn

* Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) small sqrt{x+2sqrt{x-1}}=2

b) $small sqrt{4x^2-20x+25}+2x=5$

* Bài 2:Giải các phương trình sau:

a) $small sqrt{2x^2-3}=sqrt{4x-3}$

b) $small sqrt{x^2-x}=sqrt{3-x}$

c) $small sqrt{x^2-x-6}=sqrt{x-3}$

* Bài 3: Giải các phương trình sau

a) $small sqrt{x^2-4x+4}=sqrt{4x^2-12x+9}$

b) $small sqrt{x^2-4}+sqrt{x^2+4x+4}=0$

c) $small sqrt{1-x^2}+sqrt{x+1}=0$

d) $small sqrt{x^2-8x+16}+left | x+2 ight |=0$

Qua bài viết này, các em đã được trang bị đầy đủ các kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải phương trình chứa dấu căn, từ các dạng cơ bản đến các phương pháp nâng cao. Nắm vững các bước giải, đặc biệt là việc tìm điều kiện xác định và đối chiếu nghiệm, sẽ giúp các em giải quyết các bài toán một cách chính xác và hiệu quả. Chúc các em học tốt!

• Xem thêm:

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay

Cách giải phương trình trị tuyệt đối có chứa tham số