Cách giải phương trình chứa dấu căn và Bài tập vận dụng Toán 9

I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

Để giải chính xác các dạng phương trình này, các em cần thuộc lòng các công thức biến đổi cơ bản sau:

• $A^{2}=B^2 \Leftrightarrow A=\pm B$

• $\sqrt{A}+\sqrt{B}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} A=0 \\ B=0 \end{cases}$

• $\sqrt{A}=\sqrt{B} \Leftrightarrow \begin{cases} A \geq 0 \text{ (hoặc } B \geq 0) \\ A=B \end{cases}$

• $\sqrt{A}=B \Leftrightarrow \begin{cases} B \geq 0 \\ A=B^2 \end{cases}$

• $|A|=B \Leftrightarrow \begin{cases} A \geq 0 \\ A=B \end{cases}$ hoặc $\begin{cases} A < 0 \\ A=-B \end{cases}$

• $|A|=|B| \Leftrightarrow A=B$ hoặc $A=-B$

• $|A|+|B|=0 \Leftrightarrow \begin{cases} A=0 \\ B=0 \end{cases}$

• $\sqrt{A^2}=|A|$

• $|A|= \begin{cases} A, \text{ khi } A \geq 0 \\ -A, \text{ khi } A < 0 \end{cases}$

• $\sqrt{A \cdot B}=\sqrt{A} \cdot \sqrt{B} \quad (A \geq 0, B \geq 0)$

• $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}} \quad (A \geq 0, B > 0)$

II. Các dạng toán và cách giải phương trình chứa dấu căn

1. Giải phương trình dạng: $\sqrt{f(x)}=e$ (với $e \geq 0$ là hằng số)

Trường hợp 1: $f(x)=ax+b$ hoặc $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

• Bước 1: Tìm điều kiện để $f(x) \geq 0$.

• Bước 2: Bình phương 2 vế để khử căn.

• Bước 3: Giải phương trình và đối chiếu điều kiện.

Ví dụ 1: Tìm x?

a) $\sqrt{16x}=8$

b) $\sqrt{4x}=\sqrt{5}$

c) $\sqrt{9(x-1)}=21$

d) $\sqrt{4(1-x)^2}-6=0$

Lời giải:

a) $\sqrt{16x}=8 \Leftrightarrow 16x=64 \Leftrightarrow x=4$ (thỏa mãn).

b) $\sqrt{4x}=\sqrt{5} \Leftrightarrow 4x=5 \Leftrightarrow x=\frac{5}{4}$ (thỏa mãn).

c) $\sqrt{9}\sqrt{x-1}=21 \Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=21 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}=7 \Leftrightarrow x-1=49 \Leftrightarrow x=50$ (thỏa mãn).

d) $2|1-x|=6 \Leftrightarrow |1-x|=3 \Leftrightarrow 1-x=3$ hoặc $1-x=-3 \Leftrightarrow x=-2$ hoặc $x=4$.

Trường hợp 2: $f(x)=ax^2+bx+c$

• Nếu $f(x)$ là hằng đẳng thức $(Ax \pm B)^2$: Khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối.

• Nếu không có dạng hằng đẳng thức: Thực hiện bình phương 2 vế và giải phương trình bậc 2.

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sqrt{2x^2-8x+8}=3\sqrt{2}$

Lời giải: $\sqrt{2(x-2)^2}=3\sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2}|x-2|=3\sqrt{2} \Leftrightarrow |x-2|=3 \Leftrightarrow x=5$ hoặc $x=-1$.

2. Giải phương trình dạng: $\sqrt{f(x)}=g(x)$

• Bước 1: Điều kiện: $\begin{cases} f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$

• Bước 2: Tùy vào dạng $f(x)$ và $g(x)$ để chọn phương pháp (hằng đẳng thức, bình phương 2 vế, hoặc phân tích nhân tử).

• Bước 3: Kiểm tra nghiệm và kết luận.

Ví dụ 3: Giải $\sqrt{2x-3}=x-1$

Lời giải: Điều kiện $x \geq \frac{3}{2}$. Bình phương 2 vế: $2x-3 = x^2-2x+1 \Leftrightarrow x^2-4x+4=0 \Leftrightarrow (x-2)^2=0 \Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn).

3. Giải phương trình dạng: $\sqrt{[f(x)]^2} \pm \sqrt{[h(x)]^2}=g(x)$

Để giải dạng này, các em cần đưa phương trình về dạng trị tuyệt đối: $|f(x)| \pm |h(x)| = g(x)$ và xét dấu để phá dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ: Giải $\sqrt{x+4-4\sqrt{x}} - \sqrt{x+9-6\sqrt{x}} = 1$

Lời giải: Điều kiện $x \geq 0$.

Ta có: $\sqrt{(\sqrt{x}-2)^2} - \sqrt{(\sqrt{x}-3)^2} = 1 \Leftrightarrow |\sqrt{x}-2| - |\sqrt{x}-3| = 1$.

• Xét các khoảng giá trị của $\sqrt{x}$ (dựa vào 2 và 3), ta thu được kết quả: Phương trình có vô số nghiệm với mọi $x \geq 9$.

4. Phương pháp đặt ẩn phụ và đánh giá biểu thức

i) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$

Lời giải: Đặt $t = \sqrt{x} \, (t \geq 0) \Rightarrow x = t^2$.

Phương trình trở thành: $t^2 - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow (t-1)(t-2) = 0$.

• $t=1 \Rightarrow \sqrt{x}=1 \Rightarrow x=1$.

• $t=2 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4$.

ii) Phương pháp đánh giá biểu thức

Sử dụng khi biểu thức dưới dấu căn có dạng bình phương kết hợp với hằng số dương, giúp đánh giá giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hai vế.

III. Một số bài tập về phương trình có chứa dấu căn

Dưới đây là hệ thống bài tập rèn luyện. Các em hãy vận dụng các phương pháp đã học để giải chi tiết từng câu nhé:

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x + 2\sqrt{x-1}} = 2$

b) $\sqrt{4x^2 - 20x + 25} + 2x = 5$

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2 - 3} = \sqrt{4x - 3}$

b) $\sqrt{x^2 - x} = \sqrt{3 - x}$

c) $\sqrt{x^2 - x - 6} = \sqrt{x - 3}$

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{4x^2 - 12x + 9}$

b) $\sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4} = 0$

c) $\sqrt{1 - x^2} + \sqrt{x + 1} = 0$

d) $\sqrt{x^2 - 8x + 16} + |x + 2| = 0$