Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số m - Toán 9 chuyên đề

12:44:1612/08/2021

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng toán rất dễ gây nhầm lẫn cho nhiều học sinh, đặc biệt là phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có chứa thêm tham số m.

Bài viết này chia sẻ với các em về cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, qua đó vận dụng vào giải một phương trình cơ bản để tiến tới giải bài tập mang tính khái quát cao là giải phương trình chứ dấu giá trị tuyệt đối có tham số.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có tham số cực hay

I. Kiến thức cần nhớ để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

• small left | A
ight |=left{egin{matrix} A,: khi : Ageq 0 -A,: khi: A< 0 end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Ageq 0 A=B end{matrix}
ight.: hay: left{egin{matrix} A< 0 A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B: hay: A=-B end{matrix}
ight.

• small left | A
ight |=left | B
ight |Leftrightarrow A=B: hay: A=-B

• small left | A
ight |+left | B
ight |=0Leftrightarrow left{egin{matrix} A=0 B=0 end{matrix}
ight.

• $small sqrt{A^2}=BLeftrightarrow left | A ight |=B$

» xem thêm: Cách giải biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m cực hay

II. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối phương phương trình chưa dấu giá trị tuyệt đối, tùy từng bài toán có thể sử dụng một hoặc kết hợp các phương pháp giải sau:

i)- Phương pháp sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối.

ii)- Phương pháp bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.

iii)- Phương pháp sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối.

iv)- Phương pháp đặt ẩn phụ.

1. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| = b (b≥0); |A(x)| = B(x)

a) Cách giải phương trình dạng |A(x)| = b (b≥0)

$\small |A(x)|=b\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} A(x)=b\\ A(x)=-b \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |2x + 3| = 5

* Lời giải:

Ta có: $\small |2x+3|=5\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x+3=5\\ 2x+3=-5 \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 2x=2\\ 2x=-8 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=1\\ x=-4 \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = -4.

b) Cách giải phương trình dạng |A(x)| = B(x)

* Cách 1: $\small |A(x)|=B(x)\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} B(x)\geq 0\\ \left \[\begin{matrix} A(x)=B(x)\\ A(x)=-B(x) \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.$

* Cách 2: $\small |A(x)|=B(x \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ A(x)=B(x) \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} A(x)<0\\ -A(x)=B(x) \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |5x - 1| = 2x + 5

> Lời giải:

* Giải theo cách 1, ta được:

$\small |5x-1|=2x+5\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5\geq 0\\ \left \[\begin{matrix} 5x-1=2x+5\\ 5x-1=-(2x+5) \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.$ $\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq-5 \\ \left \[\begin{matrix} 3x=6\\ 7x=-4 \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq\frac{-5}{2} \\ \left \[\begin{matrix} x=2\\ x=\frac{-4}{7} \end{matrix} \right. \end{matrix}\right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm thỏa là x = 2 và x = -4/7.

* Giải theo cách 2, ta được:

$\small |5x-1|=2x+5\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 5x-1\geq 0\\ 5x-1=2x+5 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 5x-1<0\\ -(5x-1)=2x+5 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} 5x\geq 1\\ 3x=6 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} 5x<1\\ -7x=4 \end{matrix}\right. \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} x\geq \frac{1}{5}\\ x=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x<\frac{1}{5}\\ x=-\frac{4}{7} \end{matrix}\right. \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm thỏa là x = 2 và x = -4/7.

→ Nhận xét: Dù giải theo cách nào, thì kết quả tập nghiệm của phương trình cũng như nhau.

2. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| = |B(x)|

* Cách giải:

$\small |A(x)|=|B(x)|\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} A(x)=B(x)\\ A(x)=-B(x) \end{matrix} \right.$

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |3x - 2| = |6 - x|

> Lời giải:

$\small |3x-2|=|6-x|\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 3x-2=6-x\\ 3x-2=-(6-x) \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} 4x=8\\ 2x=-4 \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=2\\ x=-2 \end{matrix} \right.$

Kết luận: Phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = -2.

3. Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối dạng |A(x)| + |B(x)| = b

* Cách giải 1: Dùng bảng xét dấu để phá trị tuyệt đối

+ Bước 1: Giải các phương trình |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0 để tìm các nghiệm x_i

+ Bước 2: Lập bảng xét phá dấu giá trị tuyệt đối dựa trên các điểm x_i

+ Bước 3: Giải các phương trình theo các khoảng trong bảng

* Cách giải 2: Chia thành 4 trường hợp để phá trị tuyệt đối

+ TH1: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ B(x)\geq 0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: A(x) + B(x) = b.

+ TH2: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)\geq 0\\ B(x)<0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: A(x) - B(x) = b.

+ TH3: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)< 0\\ B(x)\geq 0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: -A(x) + B(x) = b.

+ TH4: $\small \left\{\begin{matrix} A(x)< 0\\ B(x)<0 \end{matrix}\right.$ ta giải phương trình: -A(x) - B(x) = b.

* Ví dụ: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau: |x + 1| + |x - 1| = 6 (*)

> Lời giải:

* Giải theo cách 1:

- Bước 1: Giải các phương trình |x + 1| = 0 và |x - 1| = 0 được nghiệm x = -1 và x = 1.

- Bước 2: Lập bảng xét dấu làm căn cứ phá dấu trị tuyệt đối

Bảng xét dấu phương trình chứa dấu trị tuyệt đối

- Bước 3: Từ bảng xét dấu, ta giải phương trình theo các khoảng.

+) Nếu x<-1, ta có: -2x = 6 ⇔ x = -3

+) Nếu -1≤x<1, ta có: 2 = 6 (vô nghiệm)

+) Nếu x≥1, ta có: 2x = 6 ⇔ x = 3.

Kết luận: vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 và x = 3.

* Giải theo cách 2:

+) TH1: $\small \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 1$

Phương trình (*) trở thành: x + 1 + x - 1 = 6

⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (thỏa điều kiện x≥1).

+) TH2: $\small \left\{\begin{matrix} x+1\geq 0\\ x-1<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ x<1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -1\leq x< 1$

Phương trình (*) trở thành: x + 1 - x + 1 = 6

⇔ 2 = 6 (vô lý) suy ra phương trình vô nghiệm.

+) TH3: $\small \left\{\begin{matrix} x+1< 0\\ x-1\geq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x\geq 1 \end{matrix}\right.$ không xảy ra.

+) TH4: $\small \left\{\begin{matrix} x+1< 0\\ x-1< 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x< -1\\ x<1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x< -1$

Phương trình (*) trở thành: - x - 1 - x + 1 = 6

⇔ -2x = 6 ⇔ x = -3 (thỏa điều kiện x<-1).

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 và x = 3.

4. Vận dụng giải phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối có tham số

* Ví dụ: Giải và biện luận phương trình chứa dấu trị tuyệt đối có tham số sau:

|mx + 1| = |3x + m - 2| (*)

> Lời giải:

- Ta có:

$\small (*)\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} mx+1=3x+m-2\\ mx+1=-3x-m+2 \end{matrix} \right.$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} (m-3)x=m-3\\ (m+3)x=-m+1 \end{matrix} \right.$

+) Giải và biện luận phương trình: (m - 3)x = m - 3 (1)

Xét hai trường hợp:

* TH1: Nếu m - 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) trở thành: 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với ∀x ∈ R.

* TH2: Nếu m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, pt (1) ⇔ x = 1: phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Giải và biện luận phương trình: (m + 3)x = 1 - m (2)

Xét hai trường hợp:

* TH1: Nếu m + 3 = 0 ⇔ m = -3, pt (2) trở thành: 0x = 4, phương trình vô nghiệm.

* TH2: Nếu m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -3, pt (2) ⇔ x = (1-m)/(m+3): phương trình có nghiệm duy nhất.

Kết luận: Với m = 3, phương trình có nghiệm đúng ∀x ∈ R.

m = -3, phương trình vô nghiệm

m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

m ≠ -3, phương trình có nghiệm duy nhất $\small x=\frac{1-m}{m+3}$

* Bài tập: Giải các phương trình chứa dấu trị tuyệt đối sau:

$\small a)\: |3x+1|=|x+1|$

$\small b)\: |x^2-3|=|x-\sqrt{3}|$

$\small c)\: |x^2-1|+|x+1|=0$

Qua bài viết cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và đặc biệt là phương trình chứ giá trị tuyệt đối và có tham số m ở trên, hy vọng đã giúp các em hiểu rõ một trong các dạng toán mà nhiều em "sợ" khi gặp phải không còn thấy sợ nữa sau khi biết qua bài viết này, chúc các em học tốt.

Tags:

Đánh giá & nhận xét

minh

chữ bị khuyết tật à

Trả lời -

02/06/2023 - 11:36

Admin

Chào bạn, công thức toán học thỉnh thoảng (thực tế là cực kỳ ít) bị lỗi load font khi mạng mạng bị chậm, nếu gặp trường hợp như vậy bạn nhấn f5 hoặc refresh lại trang là có thể được nhé bạn, chúc bạn nhiều thành công

16/06/2023 - 15:35