Cách tính góc giữa hai mặt phẳng và Bài tập vận dụng - Toán hình 11

Góc giữa hai mặt phẳng được xác định như thế nào? Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng ôn lại các phương pháp chuẩn nhất để tính góc giữa hai mặt phẳng, đồng thời thực hành qua các bài tập vận dụng để hiểu rõ hơn nhé!

I. Các cách tính góc giữa hai mặt phẳng

Để tính góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$, ta có thể linh hoạt thực hiện theo một trong ba cách sau:

Cách 1: Dựa vào đường thẳng vuông góc

Tìm hai đường thẳng $a, b$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu (Cực hay cho trắc nghiệm)

Gọi $S$ là diện tích của đa giác $(H)$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$ và $S'$ là diện tích hình chiếu $(H')$ của đa giác $(H)$ trên mặt phẳng $(\beta)$. Nếu $\varphi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ thì ta có hệ thức:

Cách 3: Xác định trực tiếp góc (Cách phổ biến nhất)

Xác định góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính. Trình tự các bước như sau:

• Bước 1: Tìm giao tuyến $\Delta$ của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$.

• Bước 2: Trong $(\alpha)$, kẻ đường thẳng $a \perp \Delta$ tại điểm $M$. Trong $(\beta)$, kẻ đường thẳng $b \perp \Delta$ cũng tại điểm $M$ đó.

  (Hoặc dựng một mặt phẳng phụ $(\gamma) \perp \Delta$. Khi đó $(\alpha) \cap (\gamma) = a$ và $(\beta) \cap (\gamma) = b$.)

• Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$:

  $$\widehat{((\alpha), (\beta))} = \widehat{(a, b)}$$

II. Bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng qua ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện $ABCD$ có $AC = AD$ và $BC = BD$. Gọi $I$ là trung điểm của $CD$. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$?

Lời giải:

Ta có hình minh họa như sau:

• Tam giác $BCD$ cân tại $B$ có $I$ là trung điểm cạnh đáy $CD \Rightarrow CD \perp BI$ (1).

• Tam giác $CAD$ cân tại $A$ có $I$ là trung điểm cạnh đáy $CD \Rightarrow CD \perp AI$ (2).

• Từ (1) và (2) suy ra: $CD \perp (ABI)$.

  • Mà $CD = (ACD) \cap (BCD)$.

  • Mặt phẳng $(ABI)$ vuông góc với giao tuyến $CD$, cắt hai mặt phẳng lần lượt theo hai giao tuyến là $AI$ và $BI$.

• Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ là góc $\widehat{AIB}$.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Tính góc giữa một mặt bên và mặt đáy.

Lời giải:

Ta minh họa như hình sau:

• Gọi $H$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SH \perp (ABCD)$.

• Ta xét góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy $(ABCD)$. Giao tuyến của hai mặt phẳng là $CD$.

• Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.

  • Tam giác $SCD$ cân tại $S \Rightarrow SM \perp CD$.

  • Tam giác $CHD$ vuông cân tại $H \Rightarrow HM \perp CD$.

• Do đó, góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SM$ và $HM$, tức là $\widehat{SMH} = \alpha$.

• Từ giả thiết, tam giác $SCD$ là tam giác đều cạnh $a$, $SM$ là đường cao nên:

  $$SM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

• Trong tam giác vuông $SHM$, ta có $HM = \frac{a}{2}$. Suy ra:

  $$\cos \alpha = \frac{HM}{SM} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $H$. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABCD)$.

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ sau:

Trong bài toán này, ta sẽ áp dụng Cách 2 (Sử dụng công thức hình chiếu) để giải quyết cực nhanh.

• Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SH \perp (ABCD)$.

• Xét tam giác đều $SBC$ và $SCD$ cạnh $a$, ta dễ dàng tính được đường chéo đáy $BD = a\sqrt{2}$.

• Trong tam giác $SHC$ vuông tại $H$, trung tuyến $HM = \frac{SC}{2} = \frac{a}{2}$.

• Tam giác $MBD$ có $MH$ là đường trung tuyến (vì $H$ là trung điểm $BD$). Ta tính được diện tích tam giác $MBD$:

  $$S_{\Delta MBD} = \frac{1}{2} MH \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$$

• Gọi $M'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABCD)$.

  • Vì $SH \perp (ABCD)$ nên $MM' \parallel SH$.

  • $M$ là trung điểm $SC \Rightarrow M'$ là trung điểm $HC$ và $MM'$ là đường trung bình của $\Delta SHC$.

• Ta có diện tích hình chiếu của $\Delta MBD$ trên $(ABCD)$ chính là diện tích $\Delta M'BD$:

  $$S_{\Delta M'BD} = \frac{1}{2} M'H \cdot BD$$

  Với $M'H = \frac{1}{2} HC = \frac{a\sqrt{2}}{4} \Rightarrow S_{\Delta M'BD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{4} \cdot a\sqrt{2} = \frac{a^2}{4}$

• Gọi $\alpha$ là góc giữa $(MBD)$ và $(ABCD)$. Theo công thức hình chiếu, ta có:

  $$\cos \alpha = \frac{S_{\Delta M'BD}}{S_{\Delta MBD}} = \frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2\sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
  $$\Rightarrow \alpha = 45^\circ$$

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA = a$ và $SA \perp (ABC)$, $AB = BC = a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ sau:

• Giao tuyến của hai mặt phẳng: $(SAC) \cap (SBC) = SC$.

• Kẻ $BF \perp AC$ tại trung điểm $F$. Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA \perp BF$.

  $\Rightarrow BF \perp (SAC)$.

• Trong $(SBC)$, kẻ $BK \perp SC$ tại $K$.

  Vì $BF \perp (SAC) \Rightarrow BF \perp SC$.

  Từ $BK \perp SC$ và $BF \perp SC \Rightarrow SC \perp (BKF)$.

• Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ cùng cắt mặt phẳng $(BKF)$ theo hai giao tuyến là $FK$ và $BK$.

  $$\Rightarrow \widehat{((SAC), (SBC))} = \widehat{(KB, KF)} = \widehat{BKF}$$

• Xét hai tam giác vuông đồng dạng $\Delta CFK \sim \Delta CSA$, ta có:

  $$\frac{FK}{FC} = \frac{SA}{SC} \Rightarrow FK = \frac{FC \cdot SA}{SC} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot a}{a\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$$

• Vì $BF \perp (SAC)$ nên $BF \perp FK \Rightarrow \Delta BFK$ vuông tại $F$. Ta có:

  $$\tan \widehat{BKF} = \frac{BF}{KF} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a}{\sqrt{6}}} = \sqrt{3}$$
  $$\Rightarrow \widehat{BKF} = 60^\circ$$

• Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ là $60^\circ$.

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và có $SA = SB = SC = a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.

Lời giải:

Minh họa như hình vẽ sau:

• Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $S$ xuống mặt phẳng đáy $(ABCD)$ ($SH \perp (ABCD)$).

• Theo giả thiết, $SA = SB = SC = a$. Nghĩa là đỉnh $S$ cách đều 3 đỉnh $A, B, C$.

  $\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ (tức là $HA = HB = HC$).

• Đáy $ABCD$ là hình thoi có $AB = BC = a \Rightarrow \Delta ABC$ cân tại $B$.

  $\Rightarrow$ Tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ của $\Delta ABC$ phải nằm trên đường phân giác của góc $\widehat{B}$, cũng chính là đường chéo $BD$ của hình thoi.

• Vì $H \in BD$ nên $SH \subset (SBD)$.

• Lại có $SH \perp (ABCD)$.

  $$\Rightarrow (SBD) \perp (ABCD)$$

• Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$ là $90^\circ$.