Cách tính góc giữa hai mặt phẳng và Bài tập vận dụng - Toán hình 11

Bài viết này chúng ta sẽ ôn lại các phương pháp dùng để tính góc giữa hai mặt phẳng, làm các bài tập vận dụng để hiểu rõ hơn.

° Cách tính góc giữa hai mặt phẳng

- Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) ta có thể thực hiện theo một trong các cách sau:

• Cách 1: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) chính là góc giữa hai đường thẳng a và b.

• Cách 2: Sử dụng công thức hình chiếu: Gọi S là diện tích của hình (H) trong mp(α) và S' là diện tích hình chiếu (H') của (H) trên mp(β) thì S' = S.cosφ ⇒ cosφ ⇒ φ

• Cách 3: Xác định góc giữa hai mặt phẳng rồi sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính.

 + Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng

 + Bước 2: Dựng 2 đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến Δ tại 1 điểm trên Δ (Tức là xác định mp phụ (γ) vuông góc Δ với (α) ∩ (γ) = a; (β) ∩ (γ) = b)), khi đó:

° Cách tính góc giữa hai mặt phẳng qua ví dụ minh họa

* Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Hãy xác định góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)?

* Lời giải:

- Ta có hình minh họa như sau:

- Tam giác BCD cân tại B có I trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ BI (1)

- Tam giác CAD cân tại A cóI trung điểm đáy CD ⇒ CD ⊥ AI  (2)

- Từ (1) và (2) ⇒ CD ⊥ (ABI).

⇒ (BCD) ⊥ (ABI) và (ACD) ⊥ (ABI);

⇒ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB.

* Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa một mặt bên và mặt đáy.

* Lời giải:

- Ta minh họa như hình sau:

- Gọi H là giao điểm của AC và BD.

- Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)

 Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.

- Tam giác SCD là cân tại S; tam giác CHD cân tại H (tính chất đường chéo hình vuông)

 SM ⊥ CD và HM ⊥ CD

⇒ ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α

- Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến

* Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi M là trung điểm SC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).

* Lời giải:

- Minh họa như hình vẽ sau:

- Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ HC.

- Xét tam giác SHC vuông tại H đường trung tuyến SM ta có:

 ; 

- Gọi M' là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABCD)

(MM' là đường trung bình của ΔSHC)

Do đó: 

* Ví dụ 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA = a và SA ⊥ (ABC), AB = BC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

* Lời giải:

- Minh họa như hình vẽ sau:

- Ta có: (SAC) ∩ (SBC) = SC

- Gọi F là trung điểm AC ⇒ BF ⊥ AC 

 Lại có BF ⊥ SA ⇒ BF ⊥ (SAC) 

- Kẻ BK ⊥ SC tại K, SC ⊥ BF suy ra SC ⊥ (BKF).

- Vì ΔBFK vuông tại F  

* Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).

* Lời giải:

- Minh họa như hình vẽ sau:- Gọi H là chân đường vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) (SH ⊥(ABCD))

- Theo bài ra, SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là H cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do HA = HB = HC).

- Cũng theo bài ra, ta có: AB = BC = a ⇒ ΔABC cân tại B

 ⇒ tâm H phải nằm trên BD (BD đường chéo của hình thoi ABCD nên BD cũng là là đường trung trực của AC)

 ⇒ SH ⊂ (SBD); lại có SH ⊥ (ABCD) nên

 ⇒ (SBD) ⊥ (ABCD)