Hệ thức Chasles: Công thức, Ví dụ và Bài tập tự luyện chi tiết

16:03:4905/09/2025

Chào các em! Trong chương trình Toán 11, một trong những kiến thức nền tảng về góc lượng giác là Hệ thức Chasles. Hệ thức này giúp chúng ta tính toán và liên kết các số đo của góc lượng giác một cách dễ dàng và chính xác. Nắm vững hệ thức Chasles là chìa khóa để giải quyết các bài toán về lượng giác.

Bài viết này sẽ trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp các em củng cố kiến thức.

1. Công thức Hệ thức Chasles

Hệ thức Chasles mô tả mối quan hệ giữa số đo của ba góc lượng giác có cùng đỉnh.

Phát biểu: Với ba tia $O u, O v, Ow$ bất kì, ta có:

sđ( $O u, O v$ ) + sđ( $O v, Ow$ ) = sđ( $O u, Ow$ ) + $k 36 0^{\circ}$ ( $k \in Z$ )

Hoặc viết dưới dạng số đo radian:

sđ( $O u, O v$ ) + sđ( $O v, Ow$ ) = sđ( $O u, Ow$ ) + $k 2 π$ ( $k \in Z$ )

Nhận xét: Từ hệ thức Chasles, ta có thể suy ra một công thức hữu ích khác:

sđ( $O u, O v$ ) = sđ( $O x, O v$ ) – sđ( $O x, O u$ ) + $k 36 0^{\circ}$ ( $k \in Z$ )

Đây là công thức giúp các em tính số đo góc lượng giác giữa hai tia bất kì bằng cách sử dụng một tia trung gian $O x$ .

2. Ví dụ minh họa Hệ thức Chasles

Các ví dụ dưới đây sẽ giúp các em hiểu rõ cách áp dụng hệ thức Chasles vào giải toán.

Ví dụ 1: Cho góc lượng giác ( $O u, O v$ ) có số đo là $-\frac{7\pi}{4}$ ; góc lượng giác ( $O u, Ow$ ) có số đo là $\frac{13\pi}{4}$ . Tìm số đo của góc lượng giác ( $O v, Ow$ ), biết rằng $4 π <$ sđ( $O v, Ow$ ) $< 6 π$ .

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ thức Chasles, ta có: sđ( $O u, O v$ ) + sđ( $O v, Ow$ ) = sđ( $O u, Ow$ ) + $k 2 π$ ( $k \in Z$ ).

Từ đó, ta suy ra: sđ( $O v, Ow$ ) = sđ( $O u, Ow$ ) – sđ( $O u, O v$ ) + $k 2 π$

= $\frac{13\pi}{4}$ $-\frac{7\pi}{4}$ = $\frac{20\pi}{4}$ $+ k 2 π = 5 π + k 2 π$ ( $k \in Z$ )

Theo đề bài, ta có $4 π <$ sđ( $O v, Ow$ ) $< 6 π$ , nên $4 π < 5 π + k 2 π < 6 π$ .

Chia tất cả các vế cho $π$ , ta được: $4 < 5 + 2 k < 6$ . Suy ra: $4 - 5 < 2 k < 6 - 5$ $⟹ - 1 < 2 k < 1$ $-\frac{1}{2}<k<\frac{1}{2}$

Vì $k$ là số nguyên, nên giá trị duy nhất thỏa mãn là $k = 0$ . Vậy, sđ( $O v, Ow$ ) = $5 π + 0 \cdot 2 π = 5 π$ .

Ví dụ 2: Các góc lượng giác ( $O x, O u$ ) và ( $O x, O v$ ) có số đo lần lượt là $- 27 0^{\circ}$ và $13 5^{\circ}$ . Tính số đo của góc lượng giác ( $O u, O v$ ).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ thức Chasles, ta có: sđ( $O x, O u$ ) + sđ( $O u, O v$ ) = sđ( $O x, O v$ ) + $k 36 0^{\circ}$ ( $k \in Z$ ).

Suy ra: sđ( $O u, O v$ ) = sđ( $O x, O v$ ) – sđ( $O x, O u$ ) + $k 36 0^{\circ}$

= $13 5^{\circ} - (- 27 0^{\circ}) + k 36 0^{\circ}$

= $13 5^{\circ} + 27 0^{\circ} + k 36 0^{\circ}$

= $40 5^{\circ} + k 36 0^{\circ}$

Số đo chính của góc là $40 5^{\circ} - 36 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ . Vậy, sđ( $O u, O v$ ) = $4 5^{\circ} + m 36 0^{\circ}$ với $m$ là số nguyên.

3. Bài tập tự luyện Hệ thức Chasles

Để củng cố kiến thức, các em hãy tự mình giải quyết các bài tập dưới đây.

Bài 1: Cho một góc lượng giác ( $O x, O u$ ) có số đo $24 0^{\circ}$ và một góc lượng giác ( $O x, O v$ ) có số đo $- 27 0^{\circ}$ . Tính số đo của các góc lượng giác ( $O u, O v$ ).

Bài 2: Cho ba tia $O u, O v, Ow$ với số đo của các góc hình học $u O v$ và $v Ow$ lần lượt là $3 0^{\circ}$ và $4 5^{\circ}$ . a) Xác định số đo của ba góc lượng giác ( $O u, O v$ ), ( $O v, Ow$ ) và ( $O u, Ow$ ) được chỉ ra ở hình trên. b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên $k$ để sđ( $O u, O v$ ) + sđ( $O v, Ow$ ) = sđ( $O u, Ow$ ) + $k 36 0^{\circ}$ .

Bài 3: Cho một góc lượng giác có sđ ( $O x, O u$ ) = $12 0^{\circ}$ và một góc lượng giác ( $O x, O v$ ) có số đo $25 0^{\circ}$ . Tính số đo của góc lượng giác ( $O u, O v$ ).

Bài 4: Trong mặt phẳng định hướng cho tia $O x$ và hình vuông $O A BC$ vẽ theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ, biết (Ox, OA) = $3 0^{\circ} + k 36 0^{\circ}$ , $k \in Z$ . Tính (Ox, BC).

Bài 5: Cho số đo của góc lượng giác ( $O a, O b$ ) có tia đầu là $O a$ và tia cuối là $O b$ là $13 5^{\circ}$ . Số đo của góc lượng giác ( $O b, O c$ ) có tia đầu là $O b$ và tia cuối là $O c$ là $- 8 0^{\circ}$ . Tính số đo của góc lượng giác ( $O a, O c$ ) có tia đầu là $O a$ và tia cuối là $O c$ .

Qua bài viết này, các em đã được trang bị đầy đủ kiến thức về Hệ thức Chasles, từ công thức, cách áp dụng đến các ví dụ và bài tập tự luyện. Việc thành thạo hệ thức này sẽ giúp các em giải quyết các bài toán về góc lượng giác một cách chính xác và tự tin hơn. Hãy luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này nhé!