Hai đường thẳng song song trong không gian, tính chất hai đường thẳng song song? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 4 Bài 3

Điều kiện Đường thẳng và mặt phẳng song song, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song trong không gian như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Khi đó có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau:

• Trường hợp 1: a và (P) có từ hai điểm chung phân biệt trở lên, suy ra mọi điểm thuộc a đều thuộc (P), ta nói a nằm trong (P).

Kí hiệu: a ⊂ (P)

• Trường hợp 2: a và (P) có một điểm chung duy nhất A, ta nói a cắt (P) tại a.

Kí hiệu: a ∩ (P) = A

• Trường hợp 3: a và (P) không có điểm chung nào, ta nói a song song với (P).

Kí hiệu: a // (P)

Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) nếu chúng không có điểm chung.

* Ví dụ: Cho E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC của tứ diện ABCD. Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng BC, AD và EF với mặt phẳng (BCD).

* Lời giải:

• BC có hai điểm chung B và C với mặt phẳng (BCD), suy ra BC ⊂ (BCD).

• AD có một điểm chung duy nhất D với mặt phẳng (BCD), suy ra AD cắt (BCD) tại D.

• Nếu EF có điểm chung O với (BCD) thì O thuộc giao tuyến BC của hai mặt phẳng (ABC) và (BCD), suy ra EF cắt BC (mâu thuẫn với giải thiết EF là đường trung bình của tam giác ABC).

2. Điều kiện để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

• Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P) thì a song song với (P).

3. Tính chất cơ bản của đường thẳng và mặt phẳng song song

• Định lí 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến b thì a song song với b.

* Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tìm các đường thẳng lần lượt nằm trong, cắt, song song với mặt phẳng (ABC).

* Lời giải:

• Ta có: đường thẳng AB chứa hai điểm A, B thuộc (ABC), suy ra AB ⊂ (ABC).

Tương tự ta có BC ⊂ (ABC), AC ⊂ (ABC)

Vì vậy các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC) là: AB, BC, AC.

• Ta có: đường thẳng SA có điểm A chung với (ABC), duy ra SA cắt (ABC) tại A.

Tương tự ta có: SB, SC lần lượt cắt (ABC) tại B, C.

Vì vậy các đường thẳng cắt mặt phẳng (ABC) là: SA, SB, SC.

• Ta có: A’B’ // AB mà AB ⊂ (ABC) nên A’B’ // (ABC).

Tương tự ta có: A’C’ // (ABC) và B’C’ // (ABC).

• Hệ quả 1: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu qua điểm M thuộc (P) ta vẽ được đường thẳng b song song với a thì b phải nằm trong (P).

• Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

• Định lí 3: Nếu a và b là hai đường thẳng chéo nhau thì qua a, có một và chỉ một mặt phẳng song song với b.

* Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có ABCD là hình bình hành và M, N, E lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, SA (Hình 17). Chứng minh rằng:

a) MN song song với hai mặt phẳng (SBC) và (SAD);

b) SB và SC song song với mặt phẳng (MNE).

* Lời giải:

a) Trong mặt phẳng (ABCD) có MN là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên MN // BC// AD.

Ta có: MN // BC mà BC ⊂ (SBC) nên MN // (SBC).

Ta lại có: MN // AD mà AD ⊂ (SAD) nên MN // (SAD).

b) Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó O là trung điểm của AC.

• Xét tam giác SAC có E là trung điểm của SA, O là trung điểm của AC nên EO là đường trung bình của tam giác. Do đó EO // SC.

Mặt khác EO ⊂ (MNE) nên SC // (MNE).

• Xét tam giác SAB có E là trung điểm của SA, M là trung điểm của AB nên EM là đường trung bình của tam giác. Do đó EM // SB.

Mặt khác EM ⊂ (MNE) nên SB // (MNE).