Phương trình lượng giác cơ bản và cách giải, phương trình tương đương là gì? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 1 Bài 5

Khái niệm phương trình tương đương là gì, cách giải phương trình lượng giác cơ bản như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Phương trình tương đương

• Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

• Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “⇔”.

* Ví dụ: Hai phương trình x² – 4 = 0 và 2x² – 8 = 0 có cùng tập nghiệm {–2; 2} nên hai phương trình này tương đương.

2. Cách giải Phương trình sin x = m

Xét phương trình sin x = m.

• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2π, k ∈ ℤ

và x = π – α + k2π, k ∈ ℤ,

với α là góc thuộc [–π/2; π/2] sao cho sin α = m.

* Chú ý:

Một số trường hợp đặc biệt:

• sin x = 1 ⇔  x = π/2 + k2π, (k ∈ ℤ).

• sin x = −1 ⇔  x = −π/2 + k2π, (k ∈ ℤ).

• sin x = 0 ⇔ x = kπ, (k ∈ ℤ).

Ta có:

• sin u = sin v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = π – v + k2π, k ∈ ℤ.

• sin x = sin a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = 180° − a° + k360°, k ∈ ℤ.

* Ví dụ: sinx = 1/2 ⇔ x = π/6 + k2π và x = 5π/6 + k2π  (k ∈ ℤ).

3. Cách giải Phương trình cos x = m

Xét phương trình cos x = m.

• Nếu |m| > 1 thì phương trình vô nghiệm.

• Nếu |m| ≤ 1 thì phương trình có nghiệm:

x = α + k2π, k ∈ ℤ

và x = – α + k2π, k ∈ ℤ,

với α là góc thuộc [0; π] sao cho cos α = m.

* Chú ý:

Một số trường hợp đặc biệt:

• cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ;  

• cos x = −1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ;

• cos x = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ ℤ;

Ta có:

• cos u = cos v ⇔ u = v + k2π, k ∈ ℤ hoặc u = –v + k2π, k ∈ ℤ.

• cos x = cos a° ⇔ x = a° + k360°, k ∈ ℤ hoặc x = −a° + k360°, k ∈ ℤ.

* Ví dụ: cos x = cos 35° ⇔ x = 35° + k360° hoặc x = −35° + k360°, k ∈ ℤ.

4. Cách giải Phương trình tan x = m

Với mọi số thực m, phương trình tan x = m có nghiệm

x = α + kπ, k ∈ ℤ,

với α là góc thuộc (−π/2; π/2) sao cho tan α = m.

* Chú ý: tan x = tan a° ⇔ x = a° + k180°, k ∈ ℤ.

* Ví dụ: tan x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.

5. Cách giải PPhương trình cot x = m

Với mọi số thực m, phương trình cot x = m có nghiệm

x = α + kπ, k ∈ ℤ,

với α là góc thuộc (0; π) sao cho cot α = m.

* Chú ý: cot x = cot a° ⇔ x = a° + k.180°, k ∈ ℤ.

* Ví dụ: cot x = 1 ⇔  x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ.

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Ấn liên tiếp các phím SHIFT, sin/cos/tan và giá trị lượng giác của góc lượng giác bất kỳ để tìm ra góc lượng giác đó theo đơn vị radian hoặc theo đơn vị độ.

* Chú ý: để giải phương trình cot x = m (m ≠ 0), ta giải phương trình tan x = 1/m.