Dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn, dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn là gì, cách xác định dãy số? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 2 Bài 1

Khái niệm Dãy số, dãy số vô hạn, dãy số hữu hạn. dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn là gì, cách xác định dãy số như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Dãy số là gì?

1.1. Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là:

u: N* → R

n  u_n = u(n)

- Ta có thể kí hiệu dãy số trên là (u_n), và (u_n) được viết dưới dạng khai triển là: u₁, u₂, u₃,..., u_n,....

- Số u₁ được gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

* Chú ý:

• Số u₁ = u(1) được gọi là số hạng đầu, u_n = u(n) là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

• Nếu ∀n ∈ ℕ*, u_n = C thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

* Ví dụ: Dãy số (u_n) bao gồm các số nguyên dương chia hết cho 3 như: 3; 6; 9; 12; ...

Ta có: dãy (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3 và số hạng tổng quát u_n = 3n.

1.2. Dãy số hữu hạn

- Hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...; m} với ∀m ∈ ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dãy số hữu hạn được khai triển dưới dạng u₁, u₂, u₃,...., u_m. Trong đó, u₁ được gọi là số hạng đầu, u_m được gọi là số hạng cuối.

* Ví dụ: Dãy số (u_n) bao gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

Ta có: các số hạng của dãy số (u_n) là: 2; 4; 6; 8. Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 8.

2. Cách xác định dãy số, cách cho dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

• Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).

• Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u_n.

• Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là:

- Cho số hạng thứ nhất u₁ (hoặc một vài số hạng đầu tiên).

- Cho một công thức tính un theo u_{n – 1} (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

• Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

* Ví dụ:

• Liệt kê các số hạng:

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số lẻ lớn hơn 12: 13; 15; 17; ...

• Công thức của số hạng tổng quát:

Cho công thức của số hạng tổng quát: u_n = 3n – 1.

• Hệ thức truy hồi:

Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hỏi: u₁ = 2, u_n = 5u_{n – 1} + 1 với n ≥ 2.

• Phương pháp mô tả:

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự giảm dần.

3. Cách xác định dãy số, cách cho dãy số

- Dãy số (u_n) là dãy số tăng nếu u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) là dãy số giảm nếu u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ*.

* Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = −3n + 5.

Ta có: u_{n + 1} – u_n = −3(n + 1) + 5 – (−3n + 5)

= −3n − 3 + 5 + 3n −5 = −3 < 0 (tức là u_{n + 1} < u_n, ∀n ∈ ℕ*).

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

• Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

• Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≥ M, ∀n ∈ ℕ*.

• Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số m và M sao cho

M ≤ u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

* Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = n – 5.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì u_n = n – 5 > −5, ∀n ∈ ℕ*.