Giới hạn của hàm số tại 1 điểm, giới hạn một phía, các phép toán về giới hạn của hàm số? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 3 Bài 2

Khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm, giới hạn một phía là gì, các phép toán về giới hạn của hàm số như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm x₀ thuộc K và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc K \ {x₀}.

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K \ {x₀} và x_n → x₀, thì f(x_n) → L.

Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x₀.

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 

b)

* Lời giải:

a) Hàm số f(x) = 2x² – x xác định trên ℝ.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ∈ ℝ với mọi n và x_n → 3 khi n →+∞.

Vậy

b) hàm số  xác định trên tập ℝ\{– 1}.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì, thỏa mãn x_n ∈ ℝ\{– 1} với mọi n và x_n → – 1 khi n → +∞. Ta có:

Vậy

* Nhận xét:

• 

•  (c là hằng số).

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

a) Cho  và . Khi đó

• 

• 

• 

• 

b) Nếu f(x) ≥ 0 và  f(x) = L thì L ≥ 0 và  

(Dấu của f (x) được xét trên khoảng tìm giới hạn, x ≠ x₀).

* Nhận xét:

• , k là số nguyên dương;

•  (c ∈ R, nếu tồn tại )

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

b) 

3. Giới hạn một phía

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là L khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, thì f(x_n) → L.

Kí hiệu:

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên trái là L khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, thì f(x_n) → L.

Kí hiệu:

* Chú ý:

a) Ta thừa nhận các kết quả sau:

•  và  khi và chỉ khi 

•  thì không tồn tại 

b) Các phép toán về giới hạn của hàm số vẫn dùng khi ta thay x → x₀ bằng x → x₀⁺ hoặc x → x₀^–.

* Ví dụ: Cho hàm số 

Tìm các giới hạn , ,  (nếu có).

* Lời giải:

• Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > – 1 và x_n → – 1. Khi đó f(x_n) = x_n² + 2 nên limf(x_n) = lim(x_n² + 2) = 3.

Vì vậy:

• Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ – 1 và x_n → – 1. Khi đó f(x_n) = 1 – 2x_n nên limf(x_n) = lim(1 – 2x_n) = 3.

Vì vậy:

Vì  nên

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số x_n bất kì x_n > a và x_n → +∞ ta có f(x_n) → L

Kkí hiệu:  hay f(x) = L khi x → +∞

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; a).

Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số x_n bất kì x_n < a và x_n → –∞ ta có f(x_n) → L

Kkí hiệu:  hay f(x) = L khi x → –∞

* Nhận xét:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

•  Với c là hằng số, k là một số nguyên dương ta có:

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 

b)

* Lời giải:

a)

b)

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là +∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, thì f(x_n) → +∞ .

Kí hiệu:  hay f(x)  → +∞ khi x → x₀⁺ .

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn bên phải là –∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, thì f(x_n) → –∞.

Kí hiệu:  hay f(x)  → –∞ khi x → x₀⁺ 

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

* Chú ý: 

a) Các giới hạn:

; 

; 

; 

được định nghĩa tương tự như trên.

b) Ta có các giới hạn thường dùng sau:

•  và  (a ∈ R).

•  với k là nguyên dương;

•  nếu k là số nguyên dương chẵn;

•   nếu k là số nguyên dương lẻ.

c) Các phép toán trên giới hạn hàm số của Mục 2 chỉ áp dụng được khi tất cả các hàm số được xét có giới hạn hữu hạn. Với giới hạn vô cực, ta có một số quy tắc sau đây.

Nếu   và  (hoặc )

Thì [(f(x) . g(x)]  được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

Các quy tắc trên vẫn đúng khi thay x₀⁺ thành  x₀^–  (hoặc +∞, −∞).

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 

b)

* Lời giải:

a) 

Ta có:

Nên:

b) 

Ta có:

Nên: