Hàm số lượng giác và đồ thị, tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 1 Bài 4

Hàm số lượng giác là gì, đồ thị của hàm số lượng giác và tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Hàm số lượng giác

• Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x, kí hiệuL y = sin x.

• Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x, kí hiệu: y = cos x.

• Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức:

 với  kí hiệu y = tan x.

• Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

 với  kí hiệu  y = cot x.

* Chú ý:

• Tập xác định của hàm số y = sin x và y = cos x là ℝ.

• Tập xác định của hàm số y = tan x là 

• Tập xác định của hàm số y = cot x là 

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

2.1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D ta có –x ∈ D và f(−x) = f(x).

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D ta có –x ∈ D và f(−x) = −f(x).

* Chú ý:

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

* Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) = sin(2x + 1).

Ta có hàm số y = f(x) = sin(2x + 1) có tập xác định là ℝ. Với mọi x ∈ ℝ ta có –x ∈ ℝ và f(–x) = sin[2(–x) + 1] = sin(–2x + 1) = –sin(2x – 1).

Nhận thấy f(–x) ≠ f(x) và f(–x) ≠ –f(x).

Vậy hàm số y = sin(2x + 1) không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ.

2.2. Hàm số tuần hoàn

- Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x ± T ∈ D và f(x + T) = f(x).

- Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x).

* Chú ý:

• Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T.

• Các hàm số y = sin x và y = cos x là các hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

• Các hàm số y = tan x và y = cot x là các hàm số tuần hoàn với chu kì π.

3. Đồ thị của các hàm số lượng giác

3.1. Hàm số y = sin x

Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ, tập giá trị là [−1; 1] và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–π/2 + k2π; π/2 + k2π) (k ∈ Z) và nghịch biến trên các khoảng (π/2 + k2π; 3π/2 + k2π) (k ∈ Z).

Đồ thị của hàm số y = sin x trên ℝ như sau:

* Chú ý:

• Vì y = sin x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [−π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

3.2. Hàm số y = cos x

Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ, tập giá trị là [−1; 1] và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục Oy.

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (–π + k2π; k2π) (k ∈ Z) và nghịch biến trên các khoảng (k2π; π + k2π) (k ∈ Z) 

Đồ thị của hàm số y = cos x trên ℝ như sau:

* Chú ý:

• Vì y = cos x là hàm số chẵn nên để vẽ đồ thị của nó trên đoạn [−π; π], ta có thể vẽ trên đoạn [0; π], sau đó lấy đối xứng qua trục tung.

3.3. Hàm số y = tan x

Hàm số y = tan x có tập xác định là R\{π/2 + kπ |k ∈ Z} và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì π.

- Hàm số lẻn, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

- Hàm số đồng biến trên các khoảng (–π/2 + kπ; π/2 + kπ) (k ∈ Z)

Đồ thị của hàm số y = tan x trên tập xác định R\{π/2 + kπ |k ∈ Z}  như sau:

* Chú ý:

• Vì y = tan x là hàm số lẻ nên để vẽ đồ thị của nó trên khoảng (–π/2; π/2) ta có thể vẽ trên nửa khoảng [0; π/2) sau đó lấy đối xứng qua gốc tọa độ.

3.4. Hàm số y = cot x

Hàm số y = cot x có tập xác định là R\{kπ |k ∈ Z} và có các tính chất sau:

- Hàm số tuần hoàn với chu kì π.

- Hàm số lẻn, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (kπ; π + kπ) , (k ∈ Z)

Đồ thị của hàm số y = cot x trên R\{kπ |k ∈ Z} như sau: