Hàm số liên tục tại 1 điểm, Hàm số liên tục trên khoảng, trên đoạn, tính liên tục của hàm số? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 3 Bài 3

Khái niệm Hàm số liên tục tại 1 điểm là gì, Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn, tính liên tục của hàm số sơ cấp, các phép toán cộng trừ nhân chia  của hàm số liên tục như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu f(x) = f(x₀).

* Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ thì phải có cả ba điều sau:

• Hàm số xác định tại x₀;

• Tồn tại f(x)

• f(x) = f(x₀).

* Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x₀ thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm  x₀ và x₀ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).

* Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = 1 – x² tại điểm x₀ = 3;

b)  tại điểm x₀ = 1.

* Lời giải:

a) Ta có:  f(3) = 1 – 3² = – 8.

và 

Vì vậy:

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀ = 3.

b) Tại x₀ = 1. ta có:

Ta thấy:

Vì vậy, không tồn tại 

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x₀ = 1.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và , .

* Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.

* Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số:  trên [1; 2].

* Lời giải:

Đặt

Với mọi x₀ ∈ (1; 2), ta có:

Nên f(x) liên tục tại mọi điểm x₀ ∈ (1; 2)

Tức f(x) liên tục trên khoảng (1; 2).

Mặt khác, ta lại có:

Vậy hàm số  liên tục trên đoạn [1; 2]

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

• Hàm số đa thức y = P (x)  , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

• Hàm số phân thức y =P(x)/Q(x), hàm số căn thức , các hàm số lượng giác y = tan x, y = cot x liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

* Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.

* Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số: 

* Lời giải:

Đặt 

Tập xác định của hàm số D = (–∞; 2) ∪ (2; +∞).

Với x₀ ∈ (–∞; 2) thì:

⇒ Hàm số liên tục trên (–∞; 2).

Với x₀ ∈ ( 2; +∞) thì

⇒ Hàm số liên tục trên (2; +∞).

* Ví dụ 2: Cho hàm số 

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

* Lời giải:

• Với x ≠ 0 thì   liên tục trên (– ∞; 0) và (0; + ∞).

• Với x = 0 thì:

Và f(0) = a

Để y = f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0

Vậy a = –2 thì hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀.

• Hàm số y = f(x)/g(x) liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

* Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

Đăt

Tập xác định của hàm số D = ℝ. Khi đó:

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

b) 

Tập xác định của hàm số D = ℝ\{0}.

Trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞) ta thấy hàm số  và y₂ = cos x liên tục.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm x₀ ≠ 0.