Phép chiếu song song là gì, tính chất cơ bản của phép chiếu song song và hình biểu diễn? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 4 Bài 5

Phép chiếu song song là gì, tính chất cơ bản của phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình trong không gian như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Khái niệm phép chiếu song song

• Phép chiếu song song thường được dùng để biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt phẳng.

Trong không gian, cho một mặt phẳng (P) và đường thẳng l cắt (P). Với mỗi điểm M trong không gian, vẽ một đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với l. Đường thẳng này cắt (P) tại M'. Phép cho tương ứng mỗi điểm M trong không gian với điểm M' trong (P) được gọi là phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l.

• Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng chiếu và đường thẳng l được gọi là phương chiếu của phép chiếu song song;

• Phép chiếu song song theo phương l còn được gọi tắt là phép chiếu theo phương l;

• Điểm M' gọi là ảnh của điểm M theo phép chiếu theo phương l.

* Ví dụ 1: Tìm phương chiếu, mặt phẳng chiếu của phép chiếu song song được mô tả trong Hình 2.

* Lời giải:

Quan sát hình vẽ trên, ta được:

- Phương chiếu là đường thẳng a;

- Mặt phẳng chiếu là mặt phẳng (Q).

* Ví dụ 2: Tìm ảnh của hình hộp ABEF.DCGH qua phép chiếu song song được mô tả trong Hình 3.

* Lời giải:

Ảnh của hình hộp ABEF.DCGH qua phép chiếu có phương chiếu l là hình hộp C’D’H’G’.B’A’F’E’.

2. Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song

• Tính chất 1: Hình chiếu song song của một đường thẳng là một đường thẳng. Hình chiếu song song của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng. Hình chiếu song song của một tia là một tia.

• Tính chất 2: Hình chiếu song song của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

• Tính chất 3:

- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

- Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

* Ví dụ: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB và AB = 2CD, hình chiếu song song của ABCD là tứ giác A’B’C’D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ cũng là một hình thang và A’B’ = 2C’D’.

* Lời giải:

Ta có hình minh họa như sau:

Hình chiếu song song của hình thang ABCD là tứ giác A’B’C’D’. Vì AB // CD và  nên theo tính chất phép chiếu song song thì A’B’ // C’D’ và  hay A’B’ = 2C’D’.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

• Hình biểu diễn của một hình ℋ trong không gian là hình chiếu song song của ℋ trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

* Chú ý: Dựa theo tính chất của phép chiếu song song, ta phải tuân theo một số quy tắc khi vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn như:

a) Nếu trên hình ℋ có hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) thì chúng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng song song (hoặc trùng nhau) và tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng này phải bằng tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng trên hình ℋ.

b) Nếu hình phẳng nằm trong mặt phẳng không song song với phương chiếu thì

• Hình biểu diễn của một đường tròn thường là một elip.

• Hình biểu diễn của một tam giác (vuông, cân, đều) là một tam giác.

• Hình biểu diễn của hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành là hình bình hành.

* Ví dụ: Gọi tên các hình khối có hình biểu diễn là các hình trong Hình 10.

* Lời giải:

Hình 10a) là hình biểu diễn của hình hộp chữ nhật.

Hình 10b) là hình biểu diễn của hình lăng trụ đứng tam giác.

Hình 10c) là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác.