Công Thức Tính Trung Vị Và Tứ Phân Vị Của Mẫu Số Liệu Ghép Nhóm

1. Trung vị (Median)

1.1. Công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tính trung vị $M_e$ của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

• Gọi $n$ là cỡ mẫu.

• Giả sử nhóm $[u_m; u_{m+1})$ chứa trung vị.

• $n_m$ là tần số của nhóm chứa trung vị.

• $C = n_1 + n_2 + \dots + n_{m-1}$ (tổng tần số của các nhóm đứng trước nhóm chứa trung vị).

Khi đó, công thức xác định trung vị như sau:

1.2. Ý nghĩa của trung vị

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ cho mẫu số liệu gốc và có thể lấy làm giá trị đại diện cho mẫu số liệu. Nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa khoảng 50% số liệu.

• Ví dụ: Kết quả khảo sát cân nặng của 25 quả bơ:

• Lời giải:

  • Cỡ mẫu $n = 25$. Trung vị là giá trị $x_{13} \in [160; 165)$.

  • Xác định các thông số: $n_m = 12$, $C = 1 + 7 = 8$, $u_m = 160$, $u_{m+1} = 165$.

  • Áp dụng công thức:

    $$M_e = 160 + \frac{\frac{25}{2} - 8}{12} \cdot (165 - 160) = 161,875$$

2. Tứ phân vị (Quartiles)

2.1. Công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Tứ phân vị gồm 3 giá trị $Q_1, Q_2, Q_3$ chia mẫu dữ liệu thành 4 phần bằng nhau.

• Tứ phân vị thứ hai ($Q_2$): Chính là trung vị $M_e$ đã tính ở trên.

• Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$):

  Giả sử nhóm $[u_m; u_{m+1})$ chứa $Q_1$. Công thức:

  $$Q_1 = u_m + \frac{\frac{n}{4} - C}{n_m} \cdot (u_{m+1} - u_m)$$

• Tứ phân vị thứ ba ($Q_3$):

  Giả sử nhóm $[u_j; u_{j+1})$ chứa $Q_3$. Công thức:

  $$Q_3 = u_j + \frac{\frac{3n}{4} - C}{n_j} \cdot (u_{j+1} - u_j)$$

Chú ý: Nếu tứ phân vị thứ $k$ rơi vào ranh giới giữa hai nhóm liên tiếp $[u_{j-1}; u_j)$ và $[u_j; u_{j+1})$, ta lấy $Q_k = u_j$.

2.2. Ý nghĩa của tứ phân vị

• Ba điểm tứ phân vị chia mẫu số liệu thành bốn phần đều nhau.

• Đây là giá trị đo xu thế trung tâm của nửa dưới (các dữ liệu nhỏ hơn $Q_2$) và nửa trên (các dữ liệu lớn hơn $Q_2$).

• Ví dụ: Thống kê sự cố của 100 chiếc xe ô tô. Sau khi hiệu chỉnh mẫu số liệu về dạng khoảng liên tục:

• Kết quả ước lượng:

  • $Q_2$: Giá trị thứ 50 ($x_{50}$) và 51 ($x_{51}$) nằm ở ranh giới nhóm 2 và nhóm 3. Theo quy tắc chú ý: $Q_2 = 4,5$.

  • $Q_1$: Nằm trong nhóm $[2,5; 4,5)$ với $C = 17, n_m = 33, n = 100$:

    $$Q_1 = 2,5 + \frac{\frac{100}{4} - 17}{33} \cdot (4,5 - 2,5) \approx 2,98$$

  • $Q_3$: Giá trị thứ 75 ($x_{75}$) và 76 ($x_{76}$) nằm ở ranh giới giữa $[4,5; 6,5)$ và $[6,5; 8,5)$. Theo chú ý: $Q_3 = 6,5$.

3. Những lỗi thường gặp khi tính toán

• Không hiệu chỉnh số liệu: Với dữ liệu là số nguyên (như số lần sự cố), cần hiệu chỉnh về khoảng liên tục (ví dụ $[1; 2]$ thành $[0,5; 2,5)$) trước khi tính.

• Nhầm lẫn giá trị C: $C$ là tổng tần số của các nhóm đứng trước, không bao gồm tần số của nhóm hiện tại.

• Sai công thức: Nhầm lẫn giữa $n/4$ ($Q_1$), $n/2$ ($Q_2$) và $3n/4$ ($Q_3$).