Giới hạn của dãy số, giới hạn ở vô cực, công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 3 Bài 1

Các phép toán giới hạn của dãy số, giới hạn vô cực là gì, và công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn như thế nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.1. Giới hạn 0 của dãy số

Ta nói (u_n) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| nhỏ hơn một số dương bé tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Ký hiệu:  hay u_n → 0 khi n → +∞

* Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với . Tìm giới hạn của dãy số.

* Lời giải:

Xét: 

Với n > 10 000 thì 

Khi đó:

Suy ra: 

* Một vài giới hạn đặc biệt:

• , với k nguyên dương bất kì.

• limqⁿ = 0 , với q là số thực thỏa mãn |q| < 1.

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a)

b) 

* Lời giải:

a) Vì 2 là một số nguyên dương nên

b) Vì  nên

1.2. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số có giới hạn hữu hạn là số a (hay u_n dần tới a) khi n dần tới dương vô cực, nếu lim (u_n – a) = 0.

Ký hiệu:  hay limu_n → a khi n → +∞

* Chú ý: Nếu u_n = c (c là hằng số) thì limu_n = limc = c.

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a) 

Đặt 

Suy ra: 

Vì  nên

b) 

Đặt

Suy ra: 

vậy

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Cho lim u_n = a, lim v_n = b và c là hằng số. Khi đó:

• lim (u_n + v_n) = a + b                        

• lim (u_n – v_n) = a – b

• lim (c.u_n) = c . a                               

• lim (u_n.u_n) = a . b

• 

• Nếu u_n ≥ 0, ∀n ∈ N* thì a ≥ 0 và 

* Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:

a) 

b) 

* Lời giải:

a)

b)

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q thõa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cấp số nhân lùi vô hạn nàu có tổng là:

4. Giới hạn vô cực

• Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = + ∞ hay u_n → +∞ khi n → +∞.

• Dãy số (u_n) có giới hạn là −∞ khi n → +∞, nếu lim u_n = + ∞.

Kí hiệu: lim u_n = − ∞ hay u_n → −∞ khi n → +∞.

* Chú ý:

• lim u_n = + ∞ ⇔ lim (−u_n) = − ∞;

• Nếu lim u_n = + ∞ hoặc lim u_n = − ∞ thì 

• Nếu lim u_n = 0 và u_n > 0 với mọi n thì 

* Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

* Lời giải:

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội  là:

* Nhận xét: 

• lim n^k = +∞ (k ∈ N, k ≥ 1)

• lim qⁿ = +∞ (q > 1)