Công thức Cấp Số Cộng, cách tính tổng n số hạng đầu tiên Cấp Số Cộng, số hạng tổng quát cấp số cộng? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 2 Bài 2

Công thức Cấp số cộng, cách tính tổng n số hạng đầu tiên cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát cấp số cộng như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Cấp số cộng: Công thức cấp số cộng, công sai cấp số cộng.

• Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi, nghĩa là:

u_{n + 1} = u_n + d với n ∈ ℕ*.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

* Ví dụ: Chứng minh mỗi dãy số sau là cấp số cộng. Xác định số hạng đầu, công sai của mỗi cấp số cộng đó.

a) 3; 7; 11; 15; 19; 23.

b) Dãy số (u_n) với u_n = 9n – 9.

c) Dãy số (v_n) với v_n = an + b, trong đó a và b là các hằng số.

* Lời giải:

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng với công sai d = 4 số hạng đầu u₁ = 3.

b) Ta có: u₁ = 9.1 – 9 = 0.

u_n+1 = 9(n + 1) – 9 = 9n – 9 + 9 = u_n + 9, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 0 và công sai d = –3.

c) Ta có: v₁ = a.1 + b = a + b.

v_n+1 = a(n + 1) + b = an + a + b = an + b + a = v_n + a, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là cấp số cộng với số hạng đầu v₁ = a + b và công sai là d = a.

2. Công thức Số hạng tổng quát của cấp số cộng

• Định lí 1: Nếu một cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d , n ≥ 2.

* Ví dụ 1: Tìm số hạng tổng quát của các cấp số cộng sau:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5;

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

* Lời giải:

a) Cấp số cộng (a_n) có a₁ = 5 và d = – 5

Số hạng tổng quát là: a_n = a₁ + (n – 1).d = 5 + (n – 1).(– 5) = 5 + – 5n + 5 = – 5n + 10.

b) Cấp số cộng (b_n) có b₁ = 2 và b₁₀ = 20.

Số hạng tổng quát là: b_n = b₁ + (n – 1)d

Khi đó b₁₀ = 2 + (10 – 1).d = 2 + 9d = 20

⇒ d = 2

Vậy số hạng tổng quát là: b_n = 2 + (n – 1).2 = 2n.

* Ví dụ 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) có c₄ = 80 và c₆ = 40.

* Lời giải:

Ta có: c₄ = c₁ + 3d = 80 và c₆ = c₁ + 5d = 40. Khi đó ta có hệ phương trình:

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng trên là:

c_n = 140 + (n – 1).(–20) = –20n +160.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng (c_n) là: c_n = –20n + 160.

3. Công thức tính Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng

• Định lí 2: Giả sử (u_n) là một cấp số cộng có công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n, khi đó

hay:

* Ví dụ: 

a) Tính tổng 50 số tự nhiên chẵn đầu tiên.

b) Cho cấp số cộng (u_n) có u₃ + u₂₈ = 100. Tính tổng 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

c) Cho cấp số cộng (v_n) có S₆ = 18 và S₁₀ = 110. Tính S₂₀.

* Lời giải:

a) 50 số tự nhiên chẵn lập thành một cấp số cộng, có u₁ = 0, công sai d = 2.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Khi đó tổng của 50 số này là:

b) Ta có: u₃ + u₂₈ = u₁ + 2d + u₁ + 27d = 2u₁ + 29d = 100

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

Tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

c) Ta có:

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là:

Khi đó ta có hệ phương trình: 

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: