Định lí Thales trong không gian, tính chất và điều kiện để hai mặt phẳng song song? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 4 Bài 4

Định lí Thales trong không gian, tính chất hai mặt phẳng song song và điều kiện để hai mặt phẳng song song như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q), có thể xảy ra một trong ba trường hợp:

• Trường hợp 1: (P) và (Q) có ba điểm chung không thẳng hàng, ta nói hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau.

Kí hiệu: (P) = (Q)

• Trường hợp 2: (P) và (Q) phân biệt và có một điểm chung, ta nói (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d đi qua điểm chung.

Kí hiệu: (P) ∩ (Q) = d

• Trường hợp 3: (P) và (Q) không có bất kì điểm chung nào, nghĩa là (P) ∩ (Q) = ∅, ta nói (P) và (Q) song song.

Kí hiệu: (P) // (Q) hoặc (Q) // (P)

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

• Định lí 1: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

* Chú ý: Chẳng hạn nếu A, B, C không thẳng hàng và AB // MN và AC // MP thì (ABC) // (MNP).

* Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có E, F, H lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Chứng minh (EFH) // (BCD).

* Lời giải:

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Trong mặt phẳng (ABC) có EF // BC (tính chất đường trung bình của tam giác ABC) suy ra EF // (BDC).

Trong mặt phẳng (ABD) có HE // BD ( tính chất đường trung bình của tam giác ABD) suy ra HE // (BDC).

Ta có EF và HE cắt nhau tại E và cùng nằm trong mặt phẳng (EFH) nên (EFH) // (BCD).

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song

• Định lí 2: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó.

• Định lí 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Nếu (R) cắt (P) thì cắt (Q) và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

* Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của hai đường chéo, tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (α) di động song song với mặt phẳng (SBD) và cắt đoạn thằng AC. Chứng minh các giao tuyến của (α) với hình chóp tạo thành một tam giác đều.

* Lời giải:

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

• Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (α) với AC.

Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD và AB tại E và F.

Trong mặt phẳng (SAB), từ điểm F kẻ đường thẳng song song với SB cắt SA tại H.

Trong mặt phẳng (SAD), nối điểm E và H ta được mặt phặng (EFH) chính là mặt phẳng (α) cần dựng.

• Xét tam giác ABD, có: EF // BD nên  (định lí Thales).

Xét tam giác SAB, có: FH // SB nên  (định lí Thales).

Xét tam giác SAD, có: EH // SD nên  (định lí Thales).

Suy ra 

Mà tam giác SBD là tam giác đều nên BD = SB = SD.

Do đó EF = FH = EH.

Vì vậy giao tuyến của (α) với hình chóp SABCD là hình tam giác đều.

4. Định lí Thalès trong không gian

• Định lí 4 (Định lí Thalès): Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

* Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA = 9, SB = 12, SC = 15. Trên cạnh SA lấy điểm M, N sao cho SM = 4, MN = 3, NA = 2. Vẽ hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC), lần lượt đi qua M, N, cắt SB theo thứ tự tại M’, N’ và cắt SC theo thứ tự tại M”, N”. Tính độ dài các đoạn thẳng SM’, M’N’, M”N”, N”C.

* Lời giải:

Ta có hình minh họa sau:

•  Ta có: mặt phẳng (MM’M”) // (NN’N”) // (ABC)

Áp dụng định lí Thales trong không gian, ta được:

Áp dụng định lí Thales trong không gian, ta được:

⇒ M’N’ = 4 và M”N” = 5.

• Ta có: N”C = SC – SM” – M”N” = 15 – 20/3 – 5 = 10/3

5. Hình lăng trụ và hình hộp

5.1. Hình lăng trụ

Cho hai mặt phẳng (P) và (P') song song với nhau. Trên (P) cho đa giác lồi A₁A₂…A_n. Qua các đỉnh của đa giác này, ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (P') lần lượt tại  Hình tạo bởi các hình bình hành  và hai đa giác  gọi là hình lăng trụ.

Kí hiệu: 

Trong hình lăng trụ  , ta gọi:

- Hai đa giác A₁A₂…A_n và   gọi là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song;

- Các điểm A₁, A₂, …, A_n,  là các đỉnh;

- Các hình bình hành  được gọi là các mặt bên;

- Các đoạn thẳng   gọi là các cạnh bên. Các cạnh bên song song và bằng nhau;

- Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song và bằng nhau.

* Chú ý: Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … tương ứng được gọi là hình lăng tụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng tru ngũ giác.

5.2. Hình hộp

Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Trong một hình hộp ta có:

- Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện;

- Hai đỉnh không cùng nằm trên một đường thẳng gọi là hai đỉnh đối diện;

- Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo;

- Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

* Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng (BDA') // (B'D'C)

* Lời giải:

Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Ta có: BB' // DD' và BB' = DD'

Suy ra BB'DD' là hình bình hành, do đó BD // B'D'

Tương tự, ta cũng có A'B // D'C

Từ đó suy ra: (BDA') // (B'D'C)