Công thức Cấp Số Nhân, cách tính tổng n số hạng đầu tiên cấp số Nhân, số hạng tổng quát cấp số Nhân? Toán 11 chân trời Tập 1 chương 2 Bài 3

Công thức Cấp Số Nhân, cách tính tổng n số hạng đầu tiên cấp số Nhân, công thức số hạng tổng quát cấp số Nhân như nào? câu trả lời sẽ có ngay trong nội dung bài viết này.

1. Cấp số Nhân: Công thức cấp số Nhân, công bội cấp số nhân.

• Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:

u_{n + 1} = u_n . q với n ∈ ℕ*.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

* Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 5, u₂ = −10. Tìm công bội của cấp số nhân đã cho.

* Lời giải:

Ta có: u₂ = u₁ . q ⇔ −10 = 5.q ⇔ q = −2.

Vậy công bội của cấp số nhân đã cho là −2.

* Chú ý: Dãy số (u_n) là cấp số nhân thì: u_n² = u_n-1.u_n+1 (n ≥ 2).

2. Công thức Số hạng tổng quát của cấp số nhân

• Định lí 1: Nếu một cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^{n – 1}, n ≥ 2.

* Ví dụ: Viết công thức số hạng tổng quát u_n theo số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân sau:

a) 5; 10; 20; 40; 80; ...

b) 

* Lời giải:

a) Cấp số nhân 5; 10; 20; 40; 80; ... có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2.

Khi đó công thức số hạng tổng quát:

u_n = u₁.q^n-1 = 5.2^n-1.

b) Cấp số nhân  có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 1/10. Khi đó công thức số hạng tổng quát:

3. Công thức tính Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

• Định lí 2: Giả sử (u_n) là một cấp số nhân có công bội q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n, khi đó:

* Chú ý: Khi q = 1 thì S_n = n . u₁.

* Ví dụ: Tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) trong các trường hợp sau:

a) u₁ = 10⁵; q = 0,1; n = 5;

b) u₁ = 10; u₂ = – 20; n = 5.

* Lời giải:

a) (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 10⁵ và công bội q = 0,1 nên có số hạng tổng quát là:

u_n = u₁.q^n-1 = 10⁵.(0,1)^{n – 1} .

Khi đó ta có: u₅ = 10⁵.(0,1)^{5 – 1} = 10⁵_.(0,1)⁴ = 10.

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) là:

.

b) (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 10 và công bội q = u₂/u₁ = –20/10 = –2 nên có số hạng tổng quát là:

u_n = u₁.q^n-1 = 10.(– 2)^{n – 1} .

Khi đó ta có: u₅ = 10.(– 2)^{5 – 1} = 10_.(– 2)⁴ = 160.

Tổng 5 số hạng đầu tiên của cấp số nhân (u_n) là: