Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác (Kết nối tri thức)

08:45:5030/08/2025

Bài 2: Công thức lượng giác trong sách giáo khoa Toán 11 bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống là một trong những bài học quan trọng nhất về lượng giác. Nắm vững các công thức này là nền tảng để giải các bài toán phức tạp về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình lượng giác.

1. Công thức cộng

$cos(a-b)=cosa cosb+sina sinb$
$cos(a+b)=cosa cosb-sina sinb$
$sin(a-b)=sina cosb-cosa sinb$
$sin(a+b)=sina cosb+cosa sinb$
$tan(a-b)=\frac{tana-tanb}{1+tana tanb}$
$tan(a+b)=\frac{tana+tanb}{1-tana tanb}$
Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính $\sin\frac{5\pi}{6}$ và $\tan 15^\circ$ .
Lời giải:
- $\sin\frac{5\pi}{6}=\sin(\pi-\frac{\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.$
- $\tan 15^\circ=\tan(60^\circ-45^\circ)$ $=\frac{\tan 60^\circ-\tan 45^\circ}{1+\tan 60^\circ\tan 45^\circ}$ $=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}.$

2. Công thức nhân đôi và hạ bậc

Công thức nhân đôi:
- $sin2a=2sina cosa$
- $cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$
- $tan2a=\frac{2tana}{1-tan^2a}$
Công thức hạ bậc:
- $\cos^2a=\frac{1+\cos2a}{2}$
- $\sin^2a=\frac{1-\cos2a}{2}$
Ví dụ: Biết $sin\alpha=\frac{2}{5}$ và $0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$

Tính $\sin2\alpha,\cos2\alpha$ và $\tan2\alpha.$
Lời giải:

Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ nên $cos\alpha>0.$
$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{2}{5}\right)^2$ $=1-\frac{4}{25}=\frac{21}{25}$ $\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{\frac{21}{25}}=\frac{\sqrt{21}}{5}.$
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{4\sqrt{21}}{25}.$

$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\left(\frac{2}{5}\right)^2=1-\frac{8}{25}=\frac{17}{25}.$

$\tan2\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{4\sqrt{21}/25}{17/25}=\frac{4\sqrt{21}}{17}.$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$cosa cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]$
$sina sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]$
$sina cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]$
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức $A=\sin\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}.$
Lời giải:

$A=\frac{1}{2}\left[\sin\left(\frac{7\pi}{12}-\frac{5\pi}{12}\right)+\sin\left(\frac{7\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\sin\frac{2\pi}{12}+\sin\frac{12\pi}{12}\right]=\frac{1}{2}\left[\sin\frac{\pi}{6}+\sin\pi\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+0\right]=\frac{1}{4}.$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$cosu+cosv=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$
$cosu-cosv=-2\sin\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$
$sinu+sinv=2\sin\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$
$sinu-sinv=2\cos\frac{u+v}{2}\sin\frac{u-v}{2}$
Ví dụ:

Cho $A=\cos\frac{\pi}{17}\cos\frac{4\pi}{17}$ và $B=\cos\frac{3\pi}{17}+\cos\frac{5\pi}{17}$ . Tính giá trị của biểu thức $\frac{A}{B}$ .
Lời giải:

$B=\cos\frac{3\pi}{17}+\cos\frac{5\pi}{17}=2\cos\frac{\frac{3\pi}{17}+\frac{5\pi}{17}}{2}\cos\frac{\frac{3\pi}{17}-\frac{5\pi}{17}}{2}$ $=2\cos\frac{4\pi}{17}\cos\frac{-\pi}{17}=2\cos\frac{4\pi}{17}\cos\frac{\pi}{17}$ $\Rightarrow\frac{A}{B}=\frac{\cos\frac{\pi}{17}\cos\frac{4\pi}{17}}{2\cos\frac{4\pi}{17}\cos\frac{\pi}{17}}=\frac{1}{2}.$

Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1: Tính $sin2a$ và $tan2a$ biết $cos a=\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi}{2}<a<2\pi.$

Hướng dẫn giải: Vì $\frac{3\pi}{2}<a<2\pi$ nên $sin a<0.$
- $sin^2a=1-\cos^2a=1-(\frac{1}{4})^2=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$ $\Rightarrow sin a=-\sqrt{\frac{15}{16}}=-\frac{\sqrt{15}}{4}.$
- $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\sqrt{15}/4}{1/4}=-\sqrt{15}$

Bài 2: a) Tính $cos (- 1 5^{\circ}) + cos (25 5^{\circ})$

b) Tính $sin\frac{13}{24}\pi sin\frac{5}{24}\pi$

Hướng dẫn giải:

a) Tính $cos (- 1 5^{\circ}) + cos (25 5^{\circ})$

Phân tích và Lời giải: Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos u+\cos v=2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$

Áp dụng công thức với $u = - 1 5^{\circ}$ và $v = 25 5^{\circ}$ :

$u+v=-15^\circ+255^\circ=240^\circ$
$\frac{u+v}{2}=\frac{240^\circ}{2}=120^\circ$
$u-v=-15^\circ-255^\circ=-270^\circ$
$\frac{u-v}{2}=\frac{-270^\circ}{2}=-135^\circ$

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$\cos(-15^\circ)+\cos(255^\circ)=2\cos(120^\circ)\cos(-135^\circ)$

Ta biết:

$\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$
$\cos(-135^\circ)=\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nên: $2\cos(120^\circ)\cos(-135^\circ)=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $cos(15^o)+cos255^o=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$sin\frac{13}{24}\pi sin\frac{5}{24}\pi$

Phân tích và Lời giải: Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$

Áp dụng công thức với $a=\frac{13}{24}\pi$ và $b=\frac{5}{24}\pi$ :

$a-b=\frac{13\pi}{24}-\frac{5\pi}{24}=\frac{8\pi}{24}=\frac{\pi}{3}$
$a+b=\frac{13\pi}{24}+\frac{5\pi}{24}=\frac{18\pi}{24}=\frac{3\pi}{4}$

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$\sin\frac{13\pi}{24}\sin\frac{5\pi}{24}=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right]$

Ta biết:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$
$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)=-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nên có: $\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right]=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$

Vậy: $\sin\frac{13\pi}{24}\sin\frac{5\pi}{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$

Bài viết này đã tổng hợp lại các công thức lượng giác cơ bản, giúp các em có một nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán liên quan. Nắm vững và áp dụng linh hoạt các công thức này là chìa khóa để học tốt môn Lượng giác.

• Xem thêm:

Lý thuyết Toán 11 Bài 1 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 3 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 4 Kết nối tri thức