Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức)

09:33:2330/08/2025

Bài học về Hàm số lượng giác là một trong những kiến thức nền tảng của chương trình Toán 11, giúp các em hiểu rõ về các hàm số sin, cos, tan, cot. Nắm vững lý thuyết này là chìa khóa để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình lượng giác.

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu là $y=sinx$ .

Tập xác định của hàm số sin là $\mathbb{R}.$
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là $y=cosx$ .

Tập xác định của hàm số côsin là $\mathbb{R}$ .
Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{sinx}{\cos x}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là $y=tanx.$

Tập xác định của hàm số tang là $\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}.$
Hàm số cho bằng công thức $y=\frac{cosx}{\sin x}$ được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là $y=cotx.$

Tập xác định của hàm số côtang là $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}.$
Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{-2}{\sin x}.$
Hướng dẫn giải:

Biểu thức $\frac{-2}{\sin x}$ có nghĩa khi $\sin x\neq 0$ , tức là $x\neq k\pi$ (với $k\in\mathbb{Z}$ ).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}.$

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số $y=f(x)$ có tập xác định là $D$ .

Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm số chẵn nếu $\forall x\in D$ thì $x\in D$ và $f(-x)=f(x)$ .

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
Hàm số $f(x)$ được gọi là hàm số lẻ nếu $\forall x\in D$ thì $x\in D$ và $f(-x)=-f(x)$ .

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét:
- $y=\sin x,y=\tan x,y=\cot x$ là các hàm số lẻ.
- $y=\cos x$ là hàm số chẵn.
Ví dụ: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số $f(x)=x^2-3.$
Hướng dẫn giải: Tập xác định của hàm số $f(x)$ là $D=\mathbb{R}.$

Ta có: $f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)$ .

Vậy $f(x)$ là hàm số chẵn.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số $y=f(x)$ có tập xác định $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số $T\neq 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có:

i) $x+T\in D$ và $x T\in D$ ;

ii) $f(x+T)=f(x).$

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Nhận xét:
- Các hàm số $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi.$
- Các hàm số $y=\tan x$ và $y=\cot x$ tuần hoàn với chu kì $\pi.$
- Tổng quát, các hàm số $y=A\sin(\omega x)$ và $y=A\cos(\omega x)$ ( $\omega\neq 0$ ) là những hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi}{|\omega|}.$
Ví dụ: Xét tính tuần hoàn của hàm số $y=\cos 2x.$
Hướng dẫn giải:

Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$ và với mọi số thực $x$ , ta có: $x-\pi\in\mathbb{R},x+\pi\in\mathbb{R}$

$\cos 2(x+\pi)=\cos(2x+2\pi)=\cos 2x.$

Vậy $y=\cos 2x$ là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi.$

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sin x

Hàm số $y=\sin x$

Có tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là [-1; 1].
Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $2\pi.$
Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k2\pi;\frac{\pi}{2}+k2\pi)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\frac{\pi}{2}+k2\pi;\frac{3\pi}{2}+k2\pi)$ , với $k\in\mathbb{Z}.$
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Đồ thị và tính chất hàm số Sin

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = sin x nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải:

Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành.

Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y < 0 khi x ∈ (–ℼ; 0).

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cos x

Hàm số $y=\cos x$

Có tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là [-1; 1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì $2\pi.$
Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\pi+k2\pi;k2\pi)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(k2\pi;\pi+k2\pi),v i k\in\mathbb{Z}.$ .
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Đồ thị và tính chất của hàm Cos

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên [–ℼ; ℼ] để hàm số y = cos x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành.

Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn [–ℼ; ℼ], thì y > 0 khi $x\in\left(-\frac{\pi}{2};\:\frac{\pi}{2}\right)$

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tan x

Hàm số $y=\tan x$

Có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$ và tập giá trị là $\mathbb{R}.$
Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi.$
Đồng biến trên mỗi khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi)$ , với $k\in\mathbb{Z}.$
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đồ thị và tính chất hàm số Tan

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên $\left[-\frac{3\pi}{2};0\right]$ để hàm số y = tan x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[-\frac{3\pi}{2};0\right]$ thì y > 0 khi $x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\pi\right)$ .

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cot x

Hàm số $y=\cot x$

Có tập xác định là $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$ và tập giá trị là $\mathbb{R}.$
Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì \pi.
Nghịch biến trên mỗi khoảng $(k\pi;\pi+k\pi)$ , với $k\in\mathbb{Z}.$
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đồ thị và tính chất hàm số Cot

Ví dụ: Sử dụng đồ thị ở hình trên, hãy xác định các giá trị của x trên $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$ để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

Hướng dẫn giải

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]$ thì y > 0 khi $x\in\left(-2\pi;-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)$

Bài viết này đã hệ thống lại toàn bộ lý thuyết về các hàm số lượng giác. Việc nắm vững các khái niệm về tập xác định, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn và đồ thị của từng hàm số là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán lượng giác trong chương trình Toán 11.

• Xem thêm:

Lý thuyết Toán 11 Bài 1 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 2 Kết nối tri thức

Lý thuyết Toán 11 Bài 4 Kết nối tri thức