Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Kết nối tri thức)

04:22:3130/08/2025

Bài học về Giá trị lượng giác của góc lượng giác là một trong những kiến thức nền tảng và quan trọng nhất của chương trình Toán 11. Bài viết này sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết, từ khái niệm góc lượng giác, các đơn vị đo, đường tròn lượng giác, cho đến các công thức lượng giác cơ bản.

1. Góc lượng giác

1.1. Khái niệm và số đo

Góc lượng giác $(Ou,Ov)$ được tạo bởi tia $Om$ quay quanh gốc $O$ theo một chiều nhất định, từ tia đầu $Ou$ đến tia cuối $Ov$ .
Chiều dương: Ngược chiều kim đồng hồ.
Chiều âm: Cùng chiều kim đồng hồ.

Góc lượng giác Lý thuyết Toán 11

Số đo của góc lượng giác:
- Số đo của một góc lượng giác có thể là số dương, âm hoặc bằng $0$ và sai khác nhau một bội nguyên của $360^\circ$ .
- sđ (với $k\in\mathbb{Z}$ ).
Ví dụ: Cho góc hình học $uOv$ có số đo $60^\circ$ .
- Các góc lượng giác $(Ou,Ov)$ có số đo: sđ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).
- Các góc lượng giác $(Ov,Ou)$ có số đo: sđ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

Số đo góc lượng giác Toán 11

1.2. Hệ thức Chasles

Với ba tia $Ou,Ov,Ow$ bất kì, ta có: sđ + sđ = sđ ( $k\in\mathbb{Z}$ ).

Ví dụ: Cho góc hình học uOv có số đo 30° (như hình vẽ). Xác định số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov) và (Ov, Ou).

Ví dụ hệ thức Chasles Toán 11

Hướng dẫn giải:

Ta có:

– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là sđ(Ou, Ov) = 30° + k360° (k ∈ ℤ).

– Các góc góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou có số đo là sđ(Ov, Ou) = –30° + k360° (k ∈ ℤ).

Ví dụ: Cho một góc lượng giác có sđ (Ox, Ou) = 120° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo 250°. Tính số đo của góc lượng giác (Ou, Ov).

Hướng dẫn giải:

Ta có:

sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) – sđ (Ox, Ou) + k360° = 250° – 120° + k360° = 130°+ k360°.

2. Đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

2.1. Đơn vị đo góc

Đơn vị độ: $1^\circ=60',1'=60''$
Đơn vị rađian (rad): Cung có độ dài bằng bán kính thì có số đo là 1 rađian.

Độ dài cung tròn Toán 11

Quan hệ giữa độ và rađian:
- $360^\circ=2\pi\text{rad}.$
- $1^\circ=\frac{\pi}{180}\text{rad}.$
- $1\text{rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\approx 57^\circ 17'45''.$

Chú ý:

– Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc $\frac{\pi}{3}$ được hiểu là góc $\frac{\pi}{3}$ rad.

– Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ 0° đến 180°.

Số đo độ và rad tương ứng Toán 11

Ví dụ:

a) $50^\circ=\frac{50\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\text{rad}.$

b) $\frac{3\pi}{4}\text{rad}=\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ.$

2.2. Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính $R$ và có số đo $\alpha$ rad thì có độ dài: $l=R\alpha$ .

Ví dụ: Cung của đường tròn bán kính 2 cm và có số đo $\frac{\pi}{3}$ thì có độ dài $l=2\cdot\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\text{(cm)}.$

3. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

3.1. Đường tròn lượng giác

Là đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và có điểm gốc $A(1;0)$ .
Điểm $M(x;y)$ trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc $\alpha$ nếu sđ.

Đường tròn lượng giác

Ví dụ: Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc có số đo –120° được xác định như trong hình sau:

Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác

3.2. Các giá trị lượng giác

Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của α, kí hiệu là cos α: cosα = x
Tung độ y của điểm M được gọi là sin của α, kí hiệu là sin α. sinα = y.
Nếu cosα ≠ 0, tỉ số sinα/cosα được gọi là tang của α, kí hiệu là tanα

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y}{x}$ (với $x\ne 0$ ).
Nếu sinα ≠ 0, tỉ số cosα/sinα được gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα

$\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x}{y}$ (với $y\ne 0$ ).
Các giá trị cosα, sinα, tanα, cotα được gọi là giá trị lượng giác của α.

Chú ý:

– Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

– Từ định nghĩa ta suy ra:

+ sinα, cosα xác định với mọi giá trị của α và ta có:

–1 ≤ sinα ≤ 1; –1 ≤ cosα ≤ 1;

sin (α + k2ℼ) = sinα; cos (α + k2ℼ) = cosα (k ∈ ℤ).

+ tanα xác định khi $\alpha\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\:(k\in\mathbb{Z})$

+ cotα xác định khi $\alpha\neq\:k\pi\:(k\in\mathbb{Z})$

+ Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

Dấu của các giá trị lượng giác

Ví dụ: Cho góc lượng giác có số đo bằng $\frac{\pi}{3}$ .

a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.

b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
- Lời giải:
- a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\frac{\pi}{3}$ được xác định trong hình dưới đây.

Xác định điểm M

b) Ta có:

$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ , $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\tan\frac{\pi}{3}=\frac{\sin\frac{\pi}{3}}{\cos\frac{\pi}{3}}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$

$\cot\frac{\pi}{3}=\frac{\cos\frac{\pi}{3}}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$

4. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác

4.1. Các công thức lượng giác cơ bản

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ (với $\alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$ )
$1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$ (với $\alpha\ne k\pi,k\in\mathbb{Z}$ )
$\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$ (với $\alpha\ne\frac{k\pi}{2},k\in\mathbb{Z}$ )
Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ , biết $\cos\alpha=\frac{4}{5}$ và $0<\alpha<90^\circ.$
- Lời giải:
  
  Vì $0<\alpha<90^\circ$ nên $\sin\alpha>0$ .
  
  Từ công thức $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ , ta có:
  
  $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$ .
  
  Do đó, $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$
  
  và $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}.$

4.2 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

– Góc đối nhau (α và –α )

cos(–α) = cos α

sin(–α) = – sin α

tan(–α) = – tan α

cot(–α) = – cot α

Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

– Góc bù nhau (α và π – α)

sin(π – α) = sin α

cos(π – α) = – cos α

tan(π – α) = – tan α

cot(π – α) = – cot α

Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

– Góc phụ nhau (α và $\frac{\pi}{2}-\alpha$ )

$sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=cos\alpha$

$cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=sin\alpha$

$tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=cot\alpha$

$cot\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=tan\alpha$

Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

– Góc hơn kém π (α và π + α)

sin (π + α) = – sin α

cos (π + α) = – cos α

tan (π + α) = tan α

cot (π + α) = cot α

Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Chú ý: Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc α với $0\leq\alpha\leq\frac{\pi}{2}$

Ví dụ:

a) Tính $\sin\left(-\frac{13\pi}{3}\right)$

b) Tính $\tan(-780^\circ)$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $-\frac{13\pi}{3}=-\frac{12\pi+\pi}{3}=-\frac{12\pi}{3}-\frac{\pi}{3}=-4\pi-\frac{\pi}{3}$

Nên $\sin\left(-4\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$

$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Vì $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Nên $\sin\left(-\frac{13\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) Ta có: $-780^\circ=-4\cdot 180^\circ-60^\circ$

Nên $\tan(-780^\circ)=\tan(-60^\circ)$

$\tan(-60^\circ)=-\tan(60^\circ)$

Vì $\tan(60^\circ)=\sqrt{3}$

Nên $\tan(-780^\circ)=-\sqrt{3}$

Bài viết này đã hệ thống lại toàn bộ các kiến thức cơ bản về lượng giác trong Toán 11. Nắm vững các khái niệm về góc lượng giác, đường tròn lượng giác và các công thức liên quan là nền tảng vững chắc để giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình lượng giác