Bài 7 trang 18 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Hộp sữa 1l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp đó nhỏ nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán tối ưu này, các em cần làm theo các bước sau:

1. Thiết lập hàm số:

   • Gọi các kích thước của hộp sữa là các biến.

   • Sử dụng dữ kiện về thể tích để biểu diễn một biến (chiều cao) theo biến còn lại (cạnh đáy).

   • Lập hàm số biểu thị diện tích toàn phần của hộp theo một biến duy nhất.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

   • Tìm đạo hàm của hàm số diện tích toàn phần.

   • Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn.

   • Lập bảng biến thiên để xác định điểm mà tại đó diện tích đạt giá trị nhỏ nhất.

3. Kết luận: Dựa vào kết quả vừa tìm được, xác định kích thước cạnh đáy để diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều cao của hộp là h (cm), h > 0.

V = 1l = 1000cm³

Khi đó, thể tích của hộp là: V = hx²

hay: 

Diện tích toàn phần của hộp là: S(x) = S_tp = S_xq + S_đáy 

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S(x) khi x > 0.

Tập xác định: D = (0; +∞)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy: 

Vậy x = 10cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 600 cm²