Bài 4 trang 18 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (hình 6). Tìm kích thước khung của sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán tối ưu này, các em cần làm theo các bước sau:

1. Thiết lập hàm số:

   • Gọi các kích thước của cửa sổ là các biến.

   • Sử dụng dữ kiện về chu vi để biểu diễn một biến theo biến còn lại.

   • Lập hàm số biểu thị diện tích cửa sổ theo một biến duy nhất.

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

   • Tìm đạo hàm của hàm số diện tích.

   • Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm tới hạn.

   • Lập bảng biến thiên để xác định điểm mà tại đó diện tích đạt giá trị lớn nhất.

3. Kết luận: Dựa vào kết quả vừa tìm được, xác định kích thước của cửa sổ.

Lời giải chi tiết:

Gọi a, b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của cửa sổ (m; a,b > 0)

Chu vi cửa sổ là: 2(a + b) = 4

⇔ b = 2 - a

Diện tích của sổ là: y = ab = a(2 - a) = -a² + 2a

y' = -2a + 2 = 0 ⇔ a = 1

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy 

Vậy để diện tích cửa sổ lớn nhất bằng 1m² thì chiều dài và chiều rộng bằng nhau và bằng 1m