Bài 2 trang 18 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = x³ - 12x + 1 trên đoạn [-1; 3]

b) y = -x³ + 24x² - 180x + 400 trên đoạn [3;11]

c)  trên đoạn [3;7]

d) y = sin2x trên đoạn [0; 7π/12]

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên một đoạn $[a;b]$, các em thực hiện theo các bước sau:

1. Tính đạo hàm f′(x) và tìm các nghiệm của phương trình f′(x)=0.

2. Loại bỏ các nghiệm không thuộc đoạn $[a;b]$.

3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm sau:

   • Các nghiệm thuộc đoạn $[a;b]$.

   • Hai đầu mút của đoạn $[a;b]$ (tức là $a$ và $b$).

4. So sánh các giá trị vừa tính được. Giá trị lớn nhất trong số đó là GTLN của hàm số trên đoạn, và giá trị nhỏ nhất là GTNN của hàm số trên đoạn.

Lời giải chi tiết:

a) y = x³ - 12x + 1 trên đoạn [-1; 3]

y' = 3x² - 12 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = -2 (loại)

Ta có:

y(-1) = (-1)³ - 12(-1) + 1 = 12

y(2) = 2³ - 12.2 + 1 = -15

y(3) = 3³ - 12.3 + 1 = -8

Vậy:  và

b) y = -x³ + 24x² - 180x + 400 trên đoạn [3;11]

y' = -3x² + 48x - 180 = 0

⇔ x = 10 hoặc x = 6

Ta có:

y(3) = -3³ + 24.3² - 180.3 + 400 = 49

y(6) = -6³ + 24.6² - 180.6 + 400 = -32

y(10) = -10³ + 24.10² - 180.10 + 400 = 0

y(11) = -11³ + 24.11² - 180.11 + 400 = -7

Vậy:  và

c)  trên đoạn [3;7]

Ta có: f(3) = 7; f(7) = 3

Vậy:  và

d) y = sin2x trên đoạn [0; 7π/12]

y' = 2cos2x = 0

Vì 

Ta có:

f(0) = sin0 = 0

f(π/4) = sin2.(π/4) = sin(π/2) = 1

f(7π/12) = -1/2

Vậy:  và