Bài 6 trang 18 Toán 12 tập 1 Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức . Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán tối ưu hóa này, các em cần làm theo các bước sau:

1. Thiết lập hàm số doanh thu:

   • Từ công thức liên hệ giữa $q$ và $p$, hãy biểu diễn $q$ theo $p$.

   • Thay biểu thức của $q$ vào công thức doanh thu $R=pq$ để có được hàm số doanh thu chỉ phụ thuộc vào biến $p$.

2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

   • Tìm đạo hàm của hàm số doanh thu $R(p)$ theo biến $p$.

   • Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm điểm tới hạn.

   • Lập bảng biến thiên hoặc sử dụng kiến thức về parabol để xác định điểm mà tại đó doanh thu đạt giá trị lớn nhất.

3. Kết luận: Dựa vào kết quả vừa tìm được, xác định giá bán tối ưu và doanh thu lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:  

⇔ q = 2(15 - p)

Nên: R = pq = p.2(15 - p) = -2p² + 30p

b) Đặt y = -2p² + 30p

TXĐ: D = (0; +∞)

y' = -4p + 30 = 0 ⇔ p = 7.5

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy: 

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng