Giải bài 3 trang 19 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

10:14:4229/03/2023

Chào các em! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải chi tiết Bài 3 trang 19 trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài tập này giúp các em củng cố kiến thức về quan hệ giữa các giá trị lượng giác. Bằng cách sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và xác định dấu của các hàm số trong từng góc phần tư, các em có thể tính được tất cả các giá trị lượng giác còn lại khi biết một giá trị ban đầu.

Đề Bài 3 trang 19 Toán 11 tập 1:

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a) $\small sin\alpha =\frac{5}{13}$ và $\small \frac{\pi }{2}< \alpha < \pi$

b) $\dpi{100} \small cos\alpha =\frac{2}{5}$ và $\dpi{100} \small 0^0< \alpha < 90^0$

c) $\dpi{100} \small tan\alpha =\sqrt{3}$ và $\dpi{100} \small\pi< \alpha < \frac{3\pi}{2}$

d) $\dpi{100} \small cot\alpha =\frac{1}{2}$ và $\dpi{100} \small 270^0< \alpha < 360^0$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, các em cần làm theo các bước sau:

Xác định góc phần tư: Dựa vào khoảng của góc \alpha, xác định góc \alpha thuộc góc phần tư nào trên đường tròn lượng giác để biết dấu của các hàm lượng giác.
- Góc phần tư I ( $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ): $\sin,\cos,\tan,\cot$ đều dương.
- Góc phần tư II ( $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ ): $\sin$ dương, $\cos,\tan,\cot$ âm.
- Góc phần tư III ( $\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$ ): $\tan,\cot$ dương, $\sin,\cos$ âm.
- Góc phần tư IV ( $\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi$ ): $\cos$ dương, $\sin,\tan,\cot$ âm.
Sử dụng hệ thức lượng giác: Dùng một trong các hệ thức cơ bản để tìm giá trị của hàm lượng giác còn lại.
- $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
- $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$
- $1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$
Kết hợp dấu: Dựa vào dấu đã xác định ở Bước 1 để chọn giá trị đúng của hàm lượng giác vừa tìm được.
Tính toán: Sử dụng các giá trị đã tìm được để tính các hàm lượng giác còn lại ( $\tan\alpha,\cot\alpha$ ).

Lời giải chi tiết:

a) $\small sin\alpha =\frac{5}{13}$ và $\small \frac{\pi }{2}< \alpha < \pi$

Từ công thức: sin²α + cos²α = 1

$\small \small \Rightarrow cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^2\alpha }$ $\small =\pm \sqrt{1-\left ( \frac{5}{13} \right )^2}=\pm \frac{12}{13}$

Vì $\small \frac{\pi }{2}< \alpha < \pi$ nên chỉ nhận $\small cos\alpha =-\frac{12}{13}$

$\small \Rightarrow tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{-12}{13}}=\frac{-5}{12}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{-12}{5}$

Vậy: $\small cos\alpha =-\frac{12}{13};\: tan\alpha =-\frac{5}{12};\: cot\alpha =-\frac{12}{5}$

b) $\dpi{100} \small cos\alpha =\frac{2}{5}$ và $\dpi{100} \small 0^0< \alpha < 90^0$

Ta có: $\small sin\alpha =\pm \sqrt{1-cos^2\alpha }$ $\small =\pm \sqrt{1-\left ( \frac{2}{5} \right )^2}=\pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

Vì $\dpi{100} \small 0^0< \alpha < 90^0$ nên chỉ nhận $\small sin\alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{2}{\sqrt{21}}$

Vậy $\dpi{100} \small sin\alpha =\frac{\sqrt{21}}{5};\: tan\alpha =\frac{\sqrt{21}}{2};\: cot\alpha =\frac{2}{\sqrt{21}}$

c) $\dpi{100} \small tan\alpha =\sqrt{3}$ và $\dpi{100} \small\pi< \alpha < \frac{3\pi}{2}$

Ta có: $\dpi{100} \small tan\alpha =\sqrt{3}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Lại có:

$\small \frac{1}{cos^2\alpha }=1+tan^2\alpha =1+(\sqrt{3})^2=4$

$\small \Rightarrow cos^2\alpha =\frac{1}{4}\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{2}$ (vì $\dpi{100} \small\pi< \alpha < \frac{3\pi}{2}$ )

$\small \Rightarrow sin\alpha =tan\alpha .cos\alpha =\sqrt{3}.\left ( \frac{-1}{2} \right )=\frac{-\sqrt{3}}{2}$

Vậy $\dpi{100} \small sin\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2};\: cos\alpha =\frac{-1}{2};\: cot\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$

d) $\dpi{100} \small cot\alpha =\frac{1}{2}$ và $\dpi{100} \small 270^0< \alpha < 360^0$

Ta có: $\dpi{100} \small cot\alpha =\frac{1}{2}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow tan\alpha =\frac{1}{cot\alpha }=2$

Lại có:

$\dpi{100} \small \frac{1}{cos^2\alpha }=1+tan^2\alpha =1+2^2=5$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cos^2\alpha =\frac{1}{5}\Rightarrow cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}$ (vì $\dpi{100} \small 270^0< \alpha < 360^0$ )

$\dpi{100} \small \Rightarrow sin\alpha =tan\alpha .cos\alpha =2.\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

Vậy $\dpi{100} \small sin\alpha =\frac{2}{\sqrt{5}};\: cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5}};\: tan\alpha =2$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách tính các giá trị lượng giác còn lại của một góc khi biết một giá trị ban đầu và góc phần tư của nó. Hãy luôn nhớ rằng, việc xác định đúng dấu của các hàm lượng giác là bước quan trọng nhất để có kết quả chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 19 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?...

Bài 2 trang 19 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Cho sinα = 12/13 và cosα = -5/13. Tính...

Bài 4 trang 19 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác...

Bài 5 trang 19 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:...

Bài 6 trang 19 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau:...

Bài 7 trang 20 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó...

Bài 8 trang 20 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Khi đạp xe di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều...