Giải bài 6 trang 33 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA,OG)

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin, hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

• Đối với câu a):

  • Xác định tọa độ của gàu G trên một hệ trục tọa độ đặt tại tâm O của guồng.

  • Biểu diễn chiều cao $h$ của gàu G so với mặt nước thông qua tung độ của điểm G.

• Đối với câu b):

  • Thiết lập mối liên hệ giữa góc quay $\alpha$ và thời gian $t$.

  • Đặt chiều cao $h=1,5$ vào hàm số đã tìm được ở câu a) để có một phương trình lượng giác.

  • Giải phương trình này để tìm các giá trị của góc $\alpha$ trong khoảng thời gian 1 phút đầu.

  • Dựa vào mối liên hệ giữa $\alpha$ và $t$ để tìm các thời điểm $t$ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

a) Theo bài ra, ta có:

 OB = OG = 3m

 Chiều cao h của gàu G so với mặt nước là:

 h_G = OB + OK = 3 + 3sinα

b) Trong 1 phút đầu, guồng nước quay được 2 vòng.

Ta có: 0 ≤ α ≤ 4π

Khi h = 1,5 (m) ta có:

Vì  0 ≤ α ≤ 4π nên các giá trị α có thể nhận là: