Giải bài 2 trang 99 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AM và mặt phẳng (SBD). Chứng minh IA = 2IM.

b) Tìm giao điểm E của đường thẳng SD và mặt phẳng (ABM).

c) Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Tìm giao điểm I và chứng minh tỉ lệ: Ta cần tìm một đường thẳng trong mặt phẳng (SBD) mà AM đi qua. Sau đó, sử dụng tính chất của trung tuyến và trọng tâm để chứng minh tỉ lệ.

b) Tìm giao điểm E: Ta sẽ tìm một đường thẳng trong mặt phẳng (ABM) mà SD đi qua.

c) Tìm giao điểm của MN và mặt phẳng (SBD): Ta sẽ tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa MN và mặt phẳng (SBD).

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh hoạ như sau:

a) Gọi I là giao điểm của SO và AM.

+) Ta có: I ∈ AM

Do I ∈ SO mà SO ⊂ (SBD) nên I ∈ (SBD)

Vậy I giao điểm của AM và (SBD)

+) Xét ΔSAC, ta có:

M là trung điểm của SC,

O là trung điểm của AC

nên SO cắt AM tại I là trọng tâm của ΔSAC

Suy ra:  hay

b) Trên mặt phẳng (SCD) kẻ một đường thẳng song song với AB cắt SD tại E.

Vì ME//AB nên A,B,M,E cùng thuộc một mặt phẳng,

hay E ∈ (ABM)

Vậy E là giao của (ABM) và SD

c) N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB.

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi NC cắt BD tại P. 

Ta có S và P là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SNC) và (SBD)

Nên SP là giao tuyến của (SNC) và (SBD).

Trong mặt phẳng (SNC), gọi MN cắt SP tại Q. 

Do SP ⊂ (SBD) nên Q ∈ (SBQ)

Vậy giao điểm của MN và (SBD) là Q