Giải bài 4 trang 112 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi (α) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng BC và AD. Gọi N, P, Q lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (α) với các cạnh AC, CD và BD.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Trong trường hợp nào thì MNPQ là hình thoi?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho tứ diện ABCD và một mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm M trên cạnh AB, song song với BC và AD. Mặt phẳng này cắt các cạnh còn lại tại N, P, Q.

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành: Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, ta cần chứng tỏ nó có hai cặp cạnh đối song song. Ta sẽ sử dụng định lý về giao tuyến của mặt phẳng song song để chứng minh các cặp cạnh này song song với nhau.

b) Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi: Một hình bình hành là hình thoi khi nó có hai cạnh kề bằng nhau. Ta sẽ sử dụng định lý Thalès để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của tứ giác MNPQ và các cạnh của tứ diện, từ đó tìm điều kiện cho M.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Ta có: (α)//BC; BC ⊂ (ABC) và (α) cắt (ABC) tại MN nên MN//BC

(α)//BC; BC ⊂ (BCD) và (α) cắt (BCD) tại PQ nên PQ//BC

Vậy, nên: MN//PQ

Lại có: (α)//AD; AD ⊂ (ABD) và (α) cắt (ABD) tại MQ nên MQ//AD

(α)//AD; AD ⊂ (ACD) và (α) cắt (ACD) tại NP nên NP//BC

Vậy nên: MQ//NP

Từ đó, suy ra: MNPQ là hình bình hành

b) hình bình hành MNPQ là hình thoi khi MN = NP

Vì ΔAMN ~ ΔABC nên: 

Vì ΔCNP ~ ΔCAD nên:  

Mà MN = NP nên có: 

Mà  nên