Giải bài 6 trang 85 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là: 

Trong đó M là khối lương, R là bán kính của Trái đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0;+∞) không?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hàm số $F(r)$ mô tả lực hấp dẫn và yêu cầu xét tính liên tục của hàm số này trên khoảng $(0;+\infty )$. Hàm số được định nghĩa bởi hai trường hợp:

• F(r)=GMr/R³​ khi $0<r<R$.

• F(r)=GM/r²​ khi $r\ge R$.

Để xét tính liên tục của hàm số trên khoảng $(0;+\infty )$, ta cần kiểm tra:

1. Tính liên tục trên các khoảng mở: Hàm số có liên tục trên khoảng $(0;R)$ và $(R;+\infty )$ không.

2. Tính liên tục tại điểm nối: Ta cần xét tính liên tục tại điểm $r=R$. Để hàm số liên tục tại $r=R$, ba điều kiện sau phải được thỏa mãn:

   • Hàm số xác định tại $r=R$.

   • Tồn tại giới hạn lim_r→R​F(r).

   • lim_r→R​F(r)=F(R).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Suy ra: 

Hay hàm số F(r) liên tục tại r₀=R

 khi 0 < r < R nên hàm F(r) liên tục trên (0;R)

Kết luận: Vì hàm số $F(r)$ liên tục trên các khoảng $(0;R)$ và $(R;+\infty )$, và cũng liên tục tại điểm nối $r=R$, nên hàm số $F(r)$ liên tục trên toàn bộ khoảng $(0;+\infty )$.