Hotline 0936685849

Giải bài 1 trang 84 Toán 11 Chân trời sáng tạo: Tính liên tục của hàm số

09:05:4212/04/2023

Bài 1 thuộc trang 84 của sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài toán này giúp các em củng cố kiến thức về tính liên tục của hàm số tại một điểm. Đây là một khái niệm quan trọng trong giải tích, là nền tảng cho việc học đạo hàm và tích phân sau này.

Đề bài:

Xét tính liên tục của hàm số:

a) $\small f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2+1\: \: khi\: x\geq 0\\ 1-x\: \: khi\: x< 0 \end{matrix}\right.$ tại điểm x = 0

b) $\dpi{100} \small f(x)=\left\{\begin{matrix} x^2+2\: \: khi\: x\geq 1\\ x\: \: khi\: x< 1 \end{matrix}\right.$ tại điểm x = 1

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để xét tính liên tục của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0,$ ta cần kiểm tra ba điều kiện sau:

Hàm số $f(x)$ phải xác định tại $x_0.$ Tức là $f(x_0)$ tồn tại.
Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến $x_0$ phải tồn tại. Tức là $\lim_{x\to x_0}f(x)$ tồn tại.
Giá trị của giới hạn phải bằng giá trị của hàm số tại $x_0$ . Tức là $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Nếu một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, hàm số không liên tục tại $x_0$ .

Lời giải chi tiết bài 1 trang 84 Toán 11:

a) Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại $x=0$

Bước 1: Tìm $f(0)$

Khi $x=0$ , ta sử dụng công thức thứ nhất: $f(0)=0^2+1=1$ .

Vậy hàm số xác định tại $x=0.$
Bước 2: Tìm $\lim_{x\to 0}f(x)$

Vì hàm số được cho bởi hai công thức khác nhau tại $x=0$ , ta cần tìm giới hạn trái và giới hạn phải:
- Giới hạn phải ( $x>0$ ): $\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(x^2+1)=0^2+1=1.$
- Giới hạn trái ( $x<0$ ): $\lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(1-x)=1-0=1$
  
  Vì giới hạn trái bằng giới hạn phải, nên $\lim_{x\to 0}f(x)=1.$
Bước 3: So sánh $\lim_{x\to 0}f(x)$ và $f(0)$

Vì $\lim_{x\to 0}f(x)=1$ và $f(0)=1$ , ta có $\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)$

Vậy, hàm số $y=f(x)$ liên tục tại $x=0.$

b) Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại $x=1$

Bước 1: Tìm $f(1)$

Khi $x=1$ , ta sử dụng công thức thứ nhất: $f(1)=1^2+2=3.$

Vậy hàm số xác định tại $x=1.$
Bước 2: Tìm $\lim_{x\to 1}f(x)$

Vì hàm số được cho bởi hai công thức khác nhau tại $x=1$ , ta cần tìm giới hạn trái và giới hạn phải:
- Giới hạn phải ( $x>1$ ): $\lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(x^2+2)=1^2+2=3.$
- Giới hạn trái ( $x<1$ ): $\lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x)=1.$
  
  Vì giới hạn trái $(1)$ khác giới hạn phải $(3)$ , nên $\lim_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại.
Bước 3: So sánh $\lim_{x\to 1}f(x)$ và $f(1)$

Vì $\lim_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại, điều kiện thứ hai không thỏa mãn.

Vậy, hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại $x=1.$

Bài giải này đã giúp các em củng cố kiến thức về cách xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, đặc biệt là khi hàm số được định nghĩa bởi nhiều công thức. Nắm vững việc tính giới hạn trái, giới hạn phải và so sánh với giá trị của hàm số tại điểm đó là chìa khóa để xác định tính liên tục.

• Xem giải bài tập Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo cùng chuyên mục

> Bài 1 trang 84 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Xét tính liên tục của hàm số:...

> Bài 2 trang 84 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Cho hàm số...Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên R.

> Bài 3 trang 85 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Xét tính liên tục của hàm số sau:...

> Bài 4 trang 85 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Cho hàm số...Xét tính liên tục hàm số y = f(x).g(x) và y = f(x)/g(x).

> Bài 5 trang 85 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ)...

> Bài 6 trang 85 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r...