Giải bài 5 trang 85 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xét tính liên tục của hàm số $C(x)$ trên tập xác định của nó, chúng ta cần xét tính liên tục trên từng khoảng và tại các điểm nối giữa các khoảng đó.

• Hàm số liên tục trên các khoảng mở: Hàm số $C(x)$ là hàm hằng trên mỗi khoảng $(0;2)$, $(2;4)$ và $(4;24)$, nên nó liên tục trên các khoảng này.

• Hàm số liên tục tại các điểm nối: Để hàm số liên tục tại x=x₀​, ta phải có lim_x→x0⁻​​C(x)=lim_x→x0⁺​​C(x)=C(x₀​).

• Hàm số liên tục tại mút: Đối với điểm cuối của một đoạn, ta chỉ cần xét giới hạn một phía. Ví dụ, tại $x=24$, ta xét limx→24−​C(x).

Lời giải chi tiết:

1. Xét tính liên tục trên các khoảng

• Trên khoảng $(0;2)$, $C(x)=60000$ là hàm hằng nên liên tục.

• Trên khoảng $(2;4)$, $C(x)=100000$ là hàm hằng nên liên tục.

• Trên khoảng $(4;24)$, $C(x)=200000$ là hàm hằng nên liên tục.

2. Xét tính liên tục tại các điểm nối

• Tại $x=2$:

  • Giới hạn bên trái: lim_x→2⁻​C(x)=60000.

  • Giới hạn bên phải: lim_x→2⁺​C(x)=100000.

  • Vì lim_x→2⁻​C(x)≠lim_x→2⁺​C(x), nên không tồn tại lim_x→2​C(x).

    Vậy, hàm số gián đoạn tại $x=2$.

• Tại $x=4$:

  • Giới hạn bên trái: lim_x→4⁻​C(x)=100000.

  • Giới hạn bên phải: lim_x→4⁺​C(x)=200000.

  • Vì lim_x→4⁻​C(x)≠lim_x→4^+​C(x), nên không tồn tại lim_x→4​C(x).

    Vậy, hàm số gián đoạn tại $x=4$.

• Tại $x=24$:

  • Hàm số xác định tại $x=24$, với $C(24)=200000$.

  • Ta chỉ cần xét giới hạn bên trái: lim_x→24⁻​C(x)=lim_x→24⁻​200000=200000.

  • Vì lim_x→24⁻​C(x)=C(24), nên hàm số liên tục trái tại $x=24$.

Kết luận: Hàm số $C(x)$ liên tục trên các khoảng $(0;2)$, $(2;4)$ và $(4;24]$. Tuy nhiên, hàm số gián đoạn tại $x=2$ và $x=4$.