Giải bài 3 trang 112 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và một điểm M di động trên cạnh AD. Một mặt phẳng (α) qua M, song song với CD và SA, cắt BC, SC, SD lần lượt tại N,P,Q.

a) MNPQ là hình gì?

b) Gọi I=MQ∩NP. Chứng minh rằng I luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi M di động trên AD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng ($\alpha$) qua M ($M\in AD$), song song với CD và SA, cắt các cạnh khác. Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) MNPQ là hình gì?: Để xác định hình dạng của tứ giác MNPQ, ta sẽ sử dụng các tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng để suy ra các cặp cạnh song song.

b) I thuộc đường thẳng cố định: Giao điểm I của hai đường chéo MQ và NP. Ta cần chứng minh rằng khi M di động, I luôn nằm trên một đường thẳng không đổi.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Ta có: CD//(α),

(SCD) chứa CD cắt (α) tại PQ nên PQ//CD

Lại có: CD//(α),

(ABCD) chứa CD cắt (α) tại MN nên MN//CD

Vậy, suy ra: MN//PQ

Nên tứ giác MNPQ là hình thang.

b) Mặt phẳng (SBC) và (SAD) giao nhau tại đường thẳng đi qua S và song song với BC và AD

I ∈ NP mà NP ⊂ (SBC) nên I ∈ (SBC)

I ∈ QM mà QM ⊂ (SAD) nên I ∈ (SAD)

Do đó I là điểm chung của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)

nên I nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

Vậy I nằm trên đường thẳng đi qua S và song song với BC