Giải bài 1 trang 105 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hai đường thẳng song song a và b. Mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

a) Một đường thẳng c cắt a thì cũng cắt b

b) Một đường thẳng c chéo a thì cũng chéo b

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xác định một mệnh đề là đúng hay sai trong hình học không gian, các em cần dựa vào định nghĩa và tính chất của các đường thẳng. Nếu một mệnh đề sai, ta chỉ cần đưa ra một phản ví dụ để chứng minh.

• Đường thẳng cắt nhau: Có một điểm chung và cùng nằm trong một mặt phẳng.

• Đường thẳng song song: Không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt phẳng.

• Đường thẳng chéo nhau: Không có điểm chung và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Trong bài toán này, ta có hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp của đường thẳng $c$ để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề đã cho.

Lời giải chi tiết:

Cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$.

a) Một đường thẳng $c$ cắt $a$ thì cũng cắt $b$.

Mệnh đề này là sai.

• Giải thích: Giả sử hai đường thẳng song song $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$.

  • Đường thẳng $c$ cắt đường thẳng $a$ tại điểm $A$.

  • Tuy nhiên, đường thẳng $c$ có thể không nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$ và chỉ cắt $a$ tại $A$. Khi đó, $c$ và $b$ sẽ không có điểm chung nào, tức là chúng chéo nhau.

  • Phản ví dụ: Hãy tưởng tượng hai đường thẳng song song trên một mặt bàn ($a$ và $b$). Một chiếc bút chì ($c$) đâm xuyên qua một trong hai đường thẳng đó ($a$), nhưng không chạm vào mặt bàn. Khi đó, chiếc bút chì sẽ không cắt đường thẳng còn lại ($b$).

b) Một đường thẳng $c$ chéo $a$ thì cũng chéo $b$.

Mệnh đề này cũng là sai.

• Giải thích: Giả sử hai đường thẳng song song $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$.

  • Đường thẳng $c$ chéo đường thẳng $a$. Điều này có nghĩa là $c$ không có điểm chung với $a$ và không nằm trong mặt phẳng chứa $a$.

  • Tuy nhiên, $c$ có thể nằm trong một mặt phẳng $(\beta )$ cắt mặt phẳng $(\alpha )$ và đi qua đường thẳng $b$. Khi đó, $c$ và $b$ sẽ cắt nhau.

  • Phản ví dụ: Hãy tưởng tượng hai đường thẳng song song trên một mặt phẳng ($a$ và $b$). Một đường thẳng thứ ba ($c$) chéo với $a$, nhưng lại cắt $b$.