Giải bài 2 trang 112 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. Gọi O và O' lần lượt là tâm của ABCD và ABEF.

a) Chứng minh đường thẳng OO' song song với các mặt phẳng (CDEF), (ADF) và (BCE)

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AF và BE. Chứng minh MN//(CDFE)

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không nằm trong cùng một mặt phẳng. O và O' lần lượt là tâm của chúng. M, N là trung điểm của AF và BE.

Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Để chứng minh một đường thẳng ($d$) song song với một mặt phẳng ($P$), ta cần chứng tỏ $d$ song song với một đường thẳng nằm trong $P$.

b) Chứng minh MN // (CDFE): Tương tự, ta sẽ tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (CDFE) mà MN song song với nó.

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD), ta cần tìm hai điểm chung của chúng hoặc một điểm chung và một đường thẳng song song.

Chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và đường trung bình trong tam giác để giải quyết bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) Trong tam giác FBD,

O và O' lần lượt là trung điểm của BD và BF nên OO'//FD

Mà FD ⊂ (EFDC); FD ⊂ (ADF) nên OO'//(EFDC), OO'//(ADF)

Trong tam giác AEC,

O và O' lần lượt là trung điểm của AE và AC nên OO'//EC

Mà EC ⊂ (BCE) nên OO'//(BCE)

b) Trong hình bình hành ABEF có:

 M, N lần lượt là trung điểm của AE và BF nên MN//EF//AB

Mà EF ⊂ (CDFE) nên MN//(CDFE)

c) Hai mặt phẳng (OMN) và (ABCD) có điểm O chung,

MN//AB nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua O và song song với AB