Giải bài 5 trang 50 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Cho dãy số (u_n) với

Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, các em cần thực hiện hai phần:

1. Chứng minh dãy số tăng: Ta sẽ xét hiệu giữa số hạng sau và số hạng trước (u_{n+1} - u_n). Nếu hiệu này luôn dương, dãy số là dãy tăng.

2. Chứng minh dãy số bị chặn: Ta cần tìm một cận trên và một cận dưới cho dãy số. Ta có thể sử dụng phương pháp đánh giá bất đẳng thức để tìm các cận này.

Lời giải chi tiết:

• Chứng minh (u_n) là dãy số tăng.

Ta có:

Nên: ∀n ∈ N^∗thì: 

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

• Chứng minh (u_n) là dãy số bị chặn.

Ta có:

Nên dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Nên dãy số (u_n) bị chặn trên.

⇒ Dãy số (u_n) bị chặn.