Giải bài 9 trang 57 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

- Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

- Nhịp cầu dài 30m.

- Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu tính tổng chiều dài của các dây cáp dọc ở hai mặt bên của một chiếc cầu dây văng. Các dây cáp này được cố định trên một thành cầu có dạng parabol.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Thiết lập hàm số: Dựa vào các thông số đã cho (dây dài nhất, ngắn nhất, nhịp cầu), ta sẽ đặt một hệ trục tọa độ và tìm công thức của parabol (y=ax2+c) đi qua các điểm đã biết.

2. Tính độ dài của từng sợi cáp: Độ dài của mỗi sợi cáp chính là giá trị tung độ ($y$) của điểm tương ứng trên parabol.

3. Tính tổng chiều dài: Cộng độ dài của tất cả các sợi cáp lại.

4. Tính tổng chiều dài cuối cùng: Cộng thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây để neo cố định.

Lời giải chi tiết:

Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau:

1. Thiết lập hàm số parabol

Ta đặt hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ  nằm ở giữa nhịp cầu, trên mặt cầu. Trục  đi qua điểm dây ngắn nhất. Trục  nằm ngang theo nhịp cầu.

• Dây ngắn nhất  nằm tại giữa nhịp cầu, tương ứng với đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh là .

• Dây dài nhất  nằm tại hai đầu nhịp cầu. Nhịp cầu dài , nên hai điểm này có hoành độ là . Tọa độ hai điểm này là  và .

• Parabol có dạng . Vì đỉnh nằm trên trục , nên trục đối xứng là trục , suy ra . Hàm số có dạng . Ta có hệ phương trình để tìm  và :

• Đi qua điểm : .

• Đi qua điểm : .

  Vậy, công thức của parabol là .

2. Tính độ dài của từng sợi cáp

Nhịp cầu dài , có 21 sợi cáp dọc (1 sợi ở giữa và 10 sợi ở mỗi bên). Khoảng cách giữa các dây: .

Hoành độ các sợi cáp (từ giữa ra): x = 0; ±1,5; ±3; ±4,5; ±6; ±7,5; ±9; ±10,5; ±12; ±13,5; ±15.

Độ dài của các sợi cáp trên một mặt cầu là:

• Dây ở giữa: .

• Các cặp dây đối xứng (tổng 10 cặp = 20 dây):

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

  • 

3. Tính tổng chiều dài các dây cáp trên một mặt cầu

Tổng chiều dài dây cáp trên một mặt bên:

Tổng chiều dài dây cáp ở hai mặt bên: 

4. Tính tổng chiều dài cuối cùng

Tổng chiều dài cần tính thêm 5% để neo cố định:

Vậy, chiều dài tổng cộng của các dây cáp là 103,194m.