Hotline 0936685849

Giải bài 10 trang 73 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

16:11:0411/11/2022

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 10 trang 73 SGK Toán 10 thuộc bộ sách Chân trời sáng tạo tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập và vận dụng các công thức diện tích tam giác để chứng minh công thức tính diện tích của một tứ giác lồi.

Đề bài:

Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh: $\small S=\frac{1}{2}xysin\alpha$

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Chứng minh công thức diện tích: Ta sẽ chia tứ giác thành hai tam giác, tính diện tích của từng tam giác và cộng lại.

b) Trường hợp đặc biệt: Nêu kết quả khi hai đường chéo vuông góc với nhau.

Để giải quyết bài toán, ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích tam giác khi biết hai cạnh và sin của góc xen giữa: $S =½ ab sin C$

Lời giải chi tiết:

Ta có hình minh họa:

Giải bài 10 trang 73 SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo

Gọi O là giao điểm của AC và BD

a) Chứng minh: $\small S=\frac{1}{2}xysin\alpha$

Áp dụng công thức: $\small S=\frac{1}{2}ac.sinB$

$\dpi{100} \small S_{OAD}=\frac{1}{2}OA.OD.sin\alpha$

$\dpi{100} \small S_{OBC}=\frac{1}{2}OB.OC.sin\alpha$

$\dpi{100} \small S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB.sin(180^0-\alpha )$

$\dpi{100} \small S_{OCD}=\frac{1}{2}OC.OD.sin(180^0-\alpha )$

Mà: sin(180⁰ - α) = sinα

Suy ra: $\dpi{100} \small S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB.sin\alpha$

$\dpi{100} \small S_{OCD}=\frac{1}{2}OC.OD.sin\alpha$

Lại có: S_ABCD = (S_OAD + S_OAB) + (S_OBC + S_OCD)

$\small =\frac{1}{2}.OA.sin\alpha .(OD+OB)+\frac{1}{2}.OC.sin\alpha .(OB+OD)$

$\small =\frac{1}{2}.OA.sin\alpha .BD+\frac{1}{2}.OC.sin\alpha .BD$

$\small =\frac{1}{2}.BD.sin\alpha .(OA+OC)$

$\small =\frac{1}{2}.AC.BD.sin\alpha =\frac{1}{2}.x.y.sin\alpha$

Vậy diện tích của tứ giác ABCD: $\small S=\frac{1}{2}xysin\alpha$

b) Trong trường hợp AC ⊥ BD.

Thì α = 90⁰ ⇒ sinα = 1

Suy ra: $\small S_{ABCD}=\frac{1}{2}.x.y.1=\frac{1}{2}xy$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện kỹ năng chứng minh công thức diện tích tứ giác lồi bằng cách sử dụng công thức diện tích tam giác và tính chất lượng giác. Việc nắm vững các công thức này là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học một cách chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 72 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:...

Bài 2 trang 72 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14...

Bài 3 trang 72 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\small \widehat{B}=79^0,\: \widehat{C}=61^0$ . Tính các góc, các cạnh...