Giải bài 1 trang 77 Toán 10 Chân trời sáng tạo: Định lí Cosin và định lí Sin

09:13:2412/11/2022

Bài 1 thuộc trang 77 của sách giáo khoa Toán 10 Tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài toán này giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức về định lý côsin và định lý sin để giải tam giác trong các trường hợp khác nhau.

Đề bài:

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB = 14, AC = 23, $\small \widehat{A}=125^0$

b) BC = 22, $\small \widehat{B}=64^0$ , $\small \small \widehat{C}=38^0$

c) AC = 22, $\dpi{100} \small \widehat{B}=120^0$ , $\small \widehat{C}=28^0$

d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải một tam giác, ta cần tìm độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại. Chúng ta sẽ áp dụng các định lý sau:

Định lý côsin:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos A$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos B$
$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos C$
Định lý sin:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

Lời giải chi tiết bài 1 trang 77 Toán 10

a) AB = 14, AC = 23, $\small \widehat{A}=125^0$

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 14² + 23² – 2.14.23.cos125° ≈ 1 094,4.

$\small \Rightarrow BC=\sqrt{1094,4}\approx 33,1$

Mặt khác tam giác ABC có: $\small \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180^0$

$\small \Rightarrow \widehat{C}=180^0-(\widehat{A}+\widehat{B})$ $\small =180^0-(125^0+34^037')=20^023'$

Vậy tam giác ABC có:

AB = 14, AC = 23, BC ≈ 33,1

$\small \widehat{A}=125^0;$ $\small \widehat{B}\approx 34^037';$ $\small \widehat{C}\approx 20^023';$

b) BC = 22, $\small \widehat{B}=64^0$ , $\small \small \widehat{C}=38^0$

Tam giác ABC có: $\small \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180^0$

$\dpi{100} \small \Rightarrow \widehat{A}=180^0-(\widehat{B}+\widehat{C})$ $\small =180^0-(64^0+38^0)=78^0$

Áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ABC ta có:

$\small \frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$ $\small \Leftrightarrow \frac{22}{sin78^0}=\frac{22}{sin78^0}=\frac{AB}{sin38^0}$

$\small \Rightarrow AC=\frac{22.sin64^0}{sin78^0}\approx 20,2$

$\small \Rightarrow AB=\frac{22.sin38^0}{sin78^0}\approx 13,8$

Vậy tam giác ABC có:

AB ≈ 13,8; AC ≈ 20,2; BC = 22.

$\small \widehat{A}=78^0;$ $\small \widehat{B}=64^0$ ; $\small \small \widehat{C}=38^0$

c) AC = 22, $\dpi{100} \small \widehat{B}=120^0$ , $\small \widehat{C}=28^0$

Tam giác ABC có: $\small \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180^0$

$\dpi{100} \small \Rightarrow \widehat{A}=180^0-(\widehat{B}+\widehat{C})$ $\dpi{100} \small =180^0-(120^0+28^0)=32^0$

Áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ABC ta có:

$\small \frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$ $\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{22}{sin120^0}=\frac{AB}{sin28^0}=\frac{BC}{sin32^0}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow AB=\frac{22.sin28^0}{sin120^0}\approx 11,9$

$\dpi{100} \small \Rightarrow BC=\frac{22.sin32^0}{sin120^0}\approx 13,5$

Vậy tam giác ABC có:

AB ≈ 11,9; AC = 22; BC = 13,5.

$\dpi{100} \small \widehat{A}=32^0$ , $\dpi{100} \small \widehat{B}=120^0$ , $\small \widehat{C}=28^0$

d) AB = 23, AC = 32, BC = 44.

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\small cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}$ $\small =\frac{23^2+32^2-44^2}{2.23.32}=\frac{-383}{1472}\approx -0,26$

$\small \Rightarrow \widehat{A}\approx 105^04'$

$\small cosB=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}$ $\dpi{100} \small =\frac{23^2+44^2-32^2}{2.23.44}=\frac{1441}{2024}\approx 0,712$

$\dpi{100} \small \Rightarrow \widehat{B}\approx 44^036'$

Tam giác ABC có: $\small \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = 180^0$

$\dpi{100} \small \Rightarrow \widehat{C}=180^0-(\widehat{A}+\widehat{B})$ $\dpi{100} \small =180^0-(105^04'+44^036')=30^020'$

Vậy tam giác ABC có:

AB = 23, AC = 32, BC = 44.

$\dpi{100} \small \widehat{A}\approx 105^04'$ , $\dpi{100} \small \widehat{B}\approx 44^036'$ , $\dpi{100} \small \widehat{C}\approx 30^020'$

Bài giải này đã giúp các em ôn tập cách giải tam giác trong các trường hợp khác nhau bằng cách sử dụng linh hoạt định lý côsin và định lý sin. Nắm vững các công thức này là chìa khóa để giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.

• Xem giải bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo SGK tập 1 cùng chuyên mục

> Bài 1 trang 77 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:...

> Bài 2 trang 77 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi ...

> Bài 3 trang 77 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16 m và nhìn thấy tâm của cánh quạt...

> Bài 4 trang 78 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Tính chiều cao AB của một ngọn núi. Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất...

> Bài 5 trang 78 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32°...

> Bài 6 trang 78 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1): Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352 m so với mặt đất,...