Giải bài 6 trang 56 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Một người muốn mua một thanh gỗ đủ để cắt ra làm các thanh ngang của một cái thang. Biết rằng chiều dài các thanh ngang đó (từ bậc dưới cùng) lần lượt là 45cm, 43cm, 41cm,...., 31cm.

a) Các thang đó có bao nhiêu bậc?

b) Tính chiều dài thanh gỗ mà người đó cần mua, giả sử chiều dài các mối nối (phần gỗ bị cắt thành mùn cưa) là không đáng kể

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho biết chiều dài các thanh ngang của một cái thang tạo thành một dãy số: $45,43,41,...,31$.

• Ta nhận thấy rằng dãy số này là một cấp số cộng vì hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số: $43-45=-2$, $41-43=-2$,...

• Số hạng đầu (u₁​) là 45 cm.

• Công sai ($d$) là -2 cm.

• Số hạng cuối (u_n​) là 31 cm.

Bài toán có hai yêu cầu chính:

a) Tìm số bậc của cái thang ($n$): Chúng ta cần tìm chỉ số $n$ của số hạng cuối cùng (31 cm).

b) Tính tổng chiều dài thanh gỗ cần mua (S_n​): Đây chính là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải chi tiết:

a) Chiều dài các thanh ngang là dãy cấp số cộng có số hạng đầu là 45, công sai -2 là:

u_n = 45 − 2(n − 1) = 47 − 2n

Khi u_n = 31

⇔ 31 = 47 - 2n

⇔ n = 8

Vậy cái thang có 8 bậc

b) Ta có:

Nên: 

Vậy chiều dài thanh gỗ là 304 cm