Giải bài 1.11 trang 21 Toán 11 tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề Bài 1.11 trang 21 Toán 11:

Chứng minh đẳng thức sau:

sin(a + b).sin(a – b) = sin²a – sin²b = cos²b – cos²a.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần chứng minh ba vế của đẳng thức bằng nhau. Cách hiệu quả nhất là biến đổi vế đầu tiên  về hai vế còn lại.

Các công thức lượng giác mà chúng ta cần sử dụng bao gồm:

• Công thức biến đổi tích thành tổng: .

• Công thức hạ bậc: . 

• Công thức cơ bản: .

Chúng ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng để biến đổi vế trái, sau đó từ kết quả nhận được, ta sẽ biến đổi tiếp để chứng minh nó bằng hai vế còn lại.

Lời giải chi tiết:

Ta có: sin(a + b).sin(a – b) = [cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]

= [cos2b – cos2a] = [(2cos²b – 1) – (2cos² a – 1)] = cos²b – cos²a.

→ Vậy sin(a + b).sin(a – b) = cos²b – cos²a (1).

Lại có: cos2b – cos2a = (1 – 2sin²b) – (1 – 2sin²a) = 2(sin²a – sin²b)

Do đó, [cos2b – cos2a] = . 2(sin²a – sin²b) = sin²a – sin²b.

→  Vậy sin(a + b).sin(a – b) = sin²a – sin²b (2).

Từ (1) và (2), suy ra:

sin(a + b).sin(a – b) = sin²a – sin²b = cos²b – cos²a. (đpcm)