Cách tính Góc giữa Đường thẳng và Mặt phẳng, Bài tập vận dụng - Toán hình 11

Trong bài viết này,chúng ta sẽ cùng ôn lạicách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳngđể từng bước củng cố vững chắc nền tảng Hình học không gian.Phương pháp giải ra sao?Vận dụng vào bài tập như thế nào?Hãy cùng HayHọcHỏi tìm hiểu ngay dưới đây nhé!

I. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác định được góc giữa đường thẳng$a$và mặt phẳng$(\alpha)$,các em thực hiện lần lượt theo 3 bước chuẩn sau:

• Bước 1:Tìm giao điểm$O$của đường thẳng$a$và mặt phẳng$(\alpha)$.

• Bước 2:Lấy một điểm$A \in a$(khác$O$),dựng hình chiếu vuông góc$A'$của$A$xuống mặt phẳng$(\alpha)$.

• Bước 3:Khi đó, $OA'$là hình chiếu vuông góc của$a$trên$(\alpha)$.Góc$\widehat{AOA'} = \varphi$chính là góc giữa đường thẳng$a$và mặt phẳng$(\alpha)$.

Mẹo nhỏ & Lưu ý:

• Để dựng hình chiếu $A'$ của điểm $A$ trên $(\alpha)$, ta thường đi tìm một đường thẳng $b \perp (\alpha)$, từ đó kẻ $AA' \parallel b$ (hoặc sử dụng các mặt phẳng vuông góc có sẵn trong hình).

• Để tính góc $\varphi$, ta gắn nó vào tam giác vuông $OAA'$ và sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông ($\sin, \cos, \tan$).

II. Bài tập ví dụ minh họa từ cơ bản đến nâng cao

Ví dụ 1:Cho tứ diện$ABCD$có các cạnh$AB, BC, BD$bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một.Xác định góc giữa$AC$và mặt phẳng$(BCD)$.

Lời giải:

- Ta có hình vẽ minh họa như sau:

Theo giả thiết,ta có$AB$vuông góc với cả$BC$và$BD$:

Do$AB \perp (BCD)$nên$B$chính là hình chiếu vuông góc của$A$lên mặt phẳng$(BCD)$.Giao điểm của$AC$và$(BCD)$là$C$.Từ đó,suy ra$BC$là hình chiếu vuông góc của$AC$lên$(BCD)$.Vậy góc giữa đường thẳng$AC$và mặt phẳng$(BCD)$là:

Ví dụ 2:Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác vuông,cạnh huyền$BC = a$.Hình chiếu vuông góc của$S$lên$(ABC)$trùng với trung điểm$BC$.Biết$SB = a$.Tính số đo của góc giữa$SA$và$(ABC)$.

Lời giải:

 - Minh họa như hình vẽ:

Gọi$H$là trung điểm của$BC$.Trong tam giác vuông$ABC$,đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền nên:

Theo giả thiết, $H$là hình chiếu vuông góc của$S$lên mặt phẳng$(ABC)$,do đó:

Suy ra tam giác$SHB$vuông tại$H$.Áp dụng định lý Pythagore vào$\Delta SHB$,ta có:

Vì$SH \perp (ABC)$nên$AH$là hình chiếu của$SA$lên$(ABC)$.Vậy góc giữa$SA$và$(ABC)$chính là$\widehat{SAH}$.Đặt$\widehat{SAH} = \alpha$.Xét tam giác vuông$SAH$(vuông tại$H$):

Vậy góc giữa$SA$và mặt phẳng$(ABC)$bằng$60^\circ$.

Ví dụ 3:Cho hình chóp$S.ABC$có đáy$ABC$là tam giác đều cạnh$a$.Hình chiếu vuông góc của$S$lên$(ABC)$trùng với trung điểm$H$của cạnh$BC$.Biết tam giác$SBC$là tam giác đều.Tính số đo của góc giữa$SA$và$(ABC)$.

Lời giải:

- Minh họa như hình sau:

Do$H$là hình chiếu của$S$lên mặt phẳng$(ABC)$nên$SH \perp (ABC)$.Suy ra$AH$là hình chiếu vuông góc của$SA$lên mặt phẳng$(ABC)$.

Ta có$SH \perp (ABC) \Rightarrow SH \perp AH$.Mặt khác, $\Delta ABC$và$\Delta SBC$đều là tam giác đều cạnh$a$, $AH$và$SH$lần lượt là đường cao của hai tam giác này nên:

Vì tam giác$SAH$vuông tại$H$và có$SH = AH$,suy ra$\Delta SAH$là tam giác vuông cân tại$H$.Do đó: $\widehat{SAH} = 45^\circ$.Vậy góc giữa đường thẳng$SA$và mặt phẳng$(ABC)$là$45^\circ$.

Ví dụ 4:Cho hình thoi$ABCD$có tâm$H$, $AC = 2a$;$BD = 2AC$.Lấy điểm$S$không thuộc$(ABCD)$sao cho$SH \perp (ABCD)$.Biết$\tan(\widehat{SBH}) = \frac{1}{2}$.Tính góc giữa đường thẳng$SC$và mặt phẳng$(ABCD)$.

Lời giải:

- Minh họa như hình sau:

Đáy$ABCD$là hình thoi tâm$H$nên$H$là trung điểm của$AC$và$BD$.Ta có: $AC = 2a \Rightarrow HC = a$.Đường chéo$BD = 2AC = 4a \Rightarrow HB = 2a$.

Xét tam giác vuông$SBH$(vuông tại$H$do$SH \perp (ABCD)$):

Vì$SH \perp (ABCD)$nên$HC$là hình chiếu vuông góc của$SC$lên mặt phẳng$(ABCD)$.Góc giữa đường thẳng$SC$và$(ABCD)$chính là góc$\widehat{SCH}$.Xét tam giác vuông$SCH$:

Vậy số đo góc giữa đường thẳng$SC$và mặt phẳng$(ABCD)$là$45^\circ$.

Ví dụ 5:Cho hình chóp$S.ABCD$có đáy$ABCD$là hình vuông cạnh$a$, $SA \perp (ABCD)$và$SA = a\sqrt{6}$.Hãy tính góc giữa$SC$và mặt phẳng$(ABCD)$.

Lời giải:

Vì$SA \perp (ABCD)$nên$A$là hình chiếu vuông góc của$S$lên mặt phẳng$(ABCD)$.Suy ra, $AC$chính là hình chiếu vuông góc của$SC$lên$(ABCD)$.Góc giữa$SC$và mặt phẳng$(ABCD)$bằng góc giữa$SC$và$AC$,tức là góc$\widehat{SCA}$.

Đáy$ABCD$là hình vuông cạnh$a$nên đường chéo$AC = a\sqrt{2}$.Xét tam giác$SAC$vuông tại$A$(do$SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp AC$),ta có:

Vậy góc giữa đường thẳng$SC$và mặt phẳng$(ABCD)$là$60^\circ$.

III. Mẹo giải nhanh và những lỗi sai cần tránh

1. Mẹo giải nhanh bằng công thức khoảng cách (Cực hay cho trắc nghiệm)

Nếu bài toán yêu cầu tính góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ nhưng việc tìm hình chiếu vuông góc quá khó, các em hãy dùng ngay công thức Sin:

Giả sử đường thẳng $d$ cắt mặt phẳng $(\alpha)$ tại điểm $O$. Lấy một điểm $A$ bất kỳ thuộc $d$. Gọi $\varphi$ là góc giữa $d$ và $(\alpha)$, ta luôn có:

(Trong đó: $d(A, (\alpha))$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(\alpha)$)

Ưu điểm của mẹo này: Các em không cần phải chỉ ra chính xác vị trí của hình chiếu nằm ở đâu, chỉ cần tính được khoảng cách từ điểm $A$ xuống mặt phẳng (thường dựa vào thể tích hoặc dời điểm) và độ dài đoạn thẳng $AO$ là ra ngay kết quả.

2. Nhận diện nhanh tam giác đặc biệt

Trong bước tính toán cuối cùng (thường xét trong tam giác vuông $OAA'$), hãy nhẩm nhanh:

• Nếu cạnh góc vuông bằng một nửa cạnh huyền $\Rightarrow$ Góc đối diện cạnh đó là $30^\circ$, góc còn lại là $60^\circ$.

• Nếu hai cạnh góc vuông bằng nhau $\Rightarrow$ Tam giác vuông cân, góc là $45^\circ$.

• Nếu cạnh này bằng cạnh kia nhân $\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ Góc sẽ là $30^\circ$ hoặc $60^\circ$.

3. Các lỗi sai nhiều em hay mắc phải

• Lỗi 1: Ngộ nhận hình chiếu vuông góc của đỉnh.

  Rất nhiều em có thói quen làm bài máy móc: cứ thấy hình chóp $S.ABCD$ là mặc định hình chiếu của $S$ rơi vào tâm đáy. Điều này hoàn toàn sai! Hình chiếu của chóp chỉ rơi vào tâm đáy khi đó là hình chóp đều hoặc hình chóp có các cạnh bên bằng nhau. Đọc thật kỹ giả thiết đề bài cho nhé!

• Lỗi 2: Chọn nhầm giao điểm.

  Bước 1 là tìm giao điểm $O$ của đường thẳng và mặt phẳng, đỉnh góc $\varphi$ sẽ nằm tại $O$. Nhiều em xác định nhầm giao điểm dẫn đến việc ghép góc sai hoàn toàn (Ví dụ giao điểm là $B$ nhưng lại đi tính góc tại $A$).

• Lỗi 3: Nhầm lẫn giữa đường xiên và hình chiếu.

  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của chính nó. Nhiều bạn lấy luôn một đường thẳng bất kỳ nằm trong mặt phẳng để tính góc là sai bản chất hình học.