Các dạng bài tập số nguyên từ cơ bản và nâng cao (đầy đủ) Toán 6

Bài viết này sẽ tóm tắt lý thuyết cốt lõi về số nguyên, hệ thống các dạng bài tập tiêu biểu về phép tính cộng trừ số nguyên âm, qua đó giúp các em nắm vững phương pháp giải từ cơ bản đến nâng cao.

A. Tóm tắt lý thuyết về số nguyên

1. Số nguyên là gì?

• Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên.

• Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là $\mathbb{Z} = \{ \dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots \}$

• Lưu ý: Số 0 không phải là số nguyên âm, cũng không phải là số nguyên dương.

2. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

• Khoảng cách từ điểm $a$ đến điểm $0$ trên trục số được gọi là giá trị tuyệt đối của số nguyên $a$, kí hiệu là $|a|$.

Ví dụ: $|-15| = 15$; $|9| = 9$.

3. Cộng hai số nguyên cùng dấu

• Cộng hai số nguyên dương chính là thực hiện phép cộng hai số tự nhiên.

• Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu "-" trước kết quả.

Ví dụ 1: $2 + 5 = 7$

Ví dụ 2: $(-10) + (-15) = -(10 + 15) = -25$

4. Cộng hai số nguyên khác dấu

• Hai số đối nhau luôn có tổng bằng 0.

• Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số bé) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

Ví dụ 1: $(-3) + 3 = 0$

Ví dụ 2: $(-83) + 42 = -(83 - 42) = -41$

5. Các tính chất cơ bản của phép cộng số nguyên

• Tính chất giao hoán: $a + b = b + a$

• Tính chất kết hợp: $(a + b) + c = a + (b + c)$

• Cộng với số 0: $a + 0 = 0 + a = a$

• Cộng với số đối: $a + (-a) = 0$

• Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

6. Phép trừ hai số nguyên

• Muốn trừ số nguyên $a$ cho số nguyên $b$, ta cộng $a$ với sốđối của$b$. 

  $$a - b = a + (-b)$$

7. Quy tắc dấu ngoặc

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "+" chuyển thành dấu "-" và dấu "-" chuyển thành dấu "+".

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước, dấu của các số hạng trong ngoặc được giữ nguyên.

Ví dụ: $36 - (12 + 20 - 9) = 36 - 12 - 20 + 9 = 24 - 20 + 9 = 13$.

• Khi đặt dấu ngoặc, nếu đặt dấu "-" đằng trước dấu ngoặc thì tất cả các số hạng đưa vào trong ngoặc đều phải đổi dấu. Ngược lại, nếu đặt dấu "+" đằng trước thì các số hạng giữ nguyên dấu.

Ví dụ: $105 - 32 - 68 = 105 - (32 + 68) = 105 - 100 = 5$.

8. Quy tắc chuyển vế

• Khi chuyển vế một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta bắt buộc phải đổi dấu số hạng đó.

  $$A + B + C = D \Leftrightarrow A + B = D - C$$

9. Nhân hai số nguyên

• Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu "-" trước kết quả.

Ví dụ: $10 \cdot (-2) = -20$

• Muốn nhân hai số nguyên cùng dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu "+" trước kết quả.

Ví dụ: $(-6) \cdot (-7) = 42$

• Nguyên tắc ghi nhớ nhanh: Cùng dấu thì Dương (+), khác dấu thì Âm (-).

B. Các dạng bài tập về số nguyên cơ bản và nâng cao

Dạng 1: So sánh các số nguyên

Phương pháp giải:

• Cách 1 (Sử dụng trục số): Biểu diễn các số trên trục số, giá trị các số tăng dần từ trái qua phải.

• Cách 2 (Dùng tính chất):

  • Số nguyên dương luôn lớn hơn 0.

  • Số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0.

  • Số nguyên dương luôn lớn hơn số nguyên âm.

  • Trong hai số nguyên dương, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số ấy lớn hơn.

  • Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì số ấy lớn hơn.

Ví dụ 1:

a) Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: $2; -17; 5; 1; -2; 0.$

b) Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: $-101; 15; 0; 7; -8; 2001.$

• Lời giải:

  • a) Dãy số sắp xếp tăng dần: $-17 < -2 < 0 < 1 < 2 < 5.$

  • b) Dãy số sắp xếp giảm dần: $2001 > 15 > 7 > 0 > -8 > -101.$

Ví dụ 2: Điền dấu ">", "=", "<" thích hợp vào ô trống:

a) 3 và 5

b) (-3) và (-5)

c) 4 và (-6)

d) 10 và (-10)

• Lời giải:

  • a) $3 < 5.$

  • b) $-3 > -5$ (Vì$|-3| = 3$,$|-5| = 5$. Mà$3 < 5$nên$-3 > -5$).

  • c) $4 > -6$ (Số dương luôn lớn hơn số âm).

  • d) $10 > -10$ (Số dương luôn lớn hơn số âm).

Dạng 2: Phép tính cộng, trừ số nguyên

Phương pháp giải: Áp dụng đúng quy tắc cộng trừ số nguyên cùng dấu, khác dấu và kết hợp các tính chất giao hoán, kết hợp để tính nhanh.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) $2763 + 152$

b) $(-7) + (-14)$

c) $(-35) + (-9)$

• Lời giải:

  • a) $2763 + 152 = 2915$

  • b) $(-7) + (-14) = -(7 + 14) = -21$

  • c) $(-35) + (-9) = -(35 + 9) = -44$

Ví dụ 2: Tính:

a) $(-5) + (-248)$

b) $17 + |-33|$

c) $|-37| + |15|$

• Lời giải:

  • a) $(-5) + (-248) = -(5 + 248) = -253$

  • b) $17 + |-33| = 17 + 33 = 50$

  • c) $|-37| + |15| = 37 + 15 = 52$

Ví dụ 3: Nhiệt độ hiện tại của phòng ướp lạnh là -5°C. Nhiệt độ tại đó sẽ là bao nhiêu nếu tiếp tục giảm thêm 7°C?

• Lời giải:

  Nhiệt độ giảm 7°C tương đương với việc cộng thêm -7°C.

  Nhiệt độ lúc sau là: $(-5) + (-7) = -(5 + 7) = $ -12°C.

Dạng 3: Phép nhân các số nguyên

Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc nhân dấu và các tính chất cơ bản (giao hoán, phân phối, kết hợp) để tính toán hợp lý.

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) $(-5) \cdot 6$

b) $9 \cdot (-3)$

c) $(-10) \cdot 11$

d) $150 \cdot (-4)$

• Lời giải:

  • a) $(-5) \cdot 6 = -(5 \cdot 6) = -30$

  • b) $9 \cdot (-3) = -(9 \cdot 3) = -27$

  • c) $(-10) \cdot 11 = -(10 \cdot 11) = -110$

  • d) $150 \cdot (-4) = -(150 \cdot 4) = -600$

Ví dụ 2: Tính $125 \cdot 4$. Từ đó suy ra kết quả của:

a) $(-125) \cdot 4$

b) $(-4) \cdot 125$

c) $4 \cdot (-125)$

• Lời giải:

  Ta có $125 \cdot 4 = 500$. Áp dụng quy tắc dấu ta có:

  • a) $(-125) \cdot 4 = -500$

  • b) $(-4) \cdot 125 = -500$

  • c) $4 \cdot (-125) = -500$

Ví dụ 3: Thực hiện các phép tính:

a) $15 \cdot (-2) \cdot (-5) \cdot (-6)$

b) $4 \cdot 7 \cdot (-11) \cdot (-2)$

• Lời giải:

  • a) $[15 \cdot (-2)] \cdot [(-5) \cdot (-6)] = (-30) \cdot 30 = -900$

  • b) $(4 \cdot 7) \cdot [(-11) \cdot (-2)] = 28 \cdot 22 = 616$

Dạng 4: Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và định nghĩa giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Tìm số nguyên $x$, biết:

a) $7 - x = 8 - (-7)$

b) $x - 8 = (-3) - 8$

• Lời giải:

  • a) $7 - x = 8 + 7$

    $7 - x = 15$

    $x = 7 - 15$

    $x = -8$

  • b) $x - 8 = -11$

    $x = -11 + 8$

    $x = -3$

Ví dụ 2: Tìm số nguyên $a$, biết:

a) $|a| = 2$

b) $|a + 2| = 0$

• Lời giải:

  • a) Có hai số có giá trị tuyệt đối bằng 2 là 2 và -2. Vậy $a = 2$ hoặc $a = -2$.

  • b) Giá trị tuyệt đối bằng 0 chỉ xảy ra khi biểu thức bằng 0. Vậy $a + 2 = 0$ hay $a = -2$.

Ví dụ 3: Cho $a, b \in \mathbb{Z}$. Tìm số nguyên $x$, biết:

a) $a + x = b$

b) $a - x = b$

• Lời giải: (Áp dụng quy tắc chuyển vế)

  • a) $x = b - a$

  • b) $x = a - b$

Dạng 5: Ước và Bội của số nguyên

Phương pháp giải:

• Tìm bội: Bội của số nguyên $a$ có dạng $a \cdot m$ (với $m \in \mathbb{Z}$).

• Tìm ước: Để tìm ước của số nguyên $a$, ta tìm các ước dương của $|a|$ trước, sau đó bổ sung thêm các số đối của chúng.

Ví dụ 1: Tìm năm bội của 3 và -3.

• Lời giải:

  • Năm bội của 3 là: 0; 3; -3; 6; -6.

  • Năm bội của -3 là: 0; 3; -3; 6; -6 (Bội của 3 và -3 là giống nhau).

Ví dụ 2: Tìm tất cả các ước của -3 và 6.

• Lời giải:

  • Ước dương của $|-3|$ là 1 và 3. Vậy $\text{Ư}(-3) = \{1, -1, 3, -3\}$.

  • Ước dương của 6 là 1, 2, 3, 6. Vậy $\text{Ư}(6) = \{1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6\}$.