Giải bài 2.62 trang 56 Toán 6 Tập 1 SGK Kết nối tri thức: Ước và bội

Đề bài:

Bài toán cổ

Bác kia chăn vịt khác thường

Buộc đi cho được chẵn hàng mới ưa

Hàng 2 xếp thấy chưa vừa

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con

Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn

Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy 

Xếp thành hàng 7, đẹp thay

Vịt bao nhiêu? Tính được ngay mới tài.

(Biết số vịt chưa đến 200 con)

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần diễn đạt các câu thơ thành các điều kiện toán học. Giả sử số vịt là $a$ (với $a$ là một số tự nhiên).

• "Hàng 2 xếp thấy chưa vừa": Nghĩa là số vịt không chia hết cho 2. Vậy $a$ là một số lẻ. Điều này cũng có nghĩa là $a+1$ chia hết cho 2.

• "Hàng 3 xếp vẫn còn thừa một con": Nghĩa là $a$ chia cho 3 dư 1. Điều này cũng có nghĩa là $a-1$ chia hết cho 3.

• "Hàng 4 xếp vẫn chưa tròn": Nghĩa là $a$ không chia hết cho 4.

• "Hàng 5 xếp thiếu một con mới đầy": Nghĩa là $a$ chia cho 5 dư 4 (hoặc $a$ thiếu 1 con nữa thì chia hết cho 5). Điều này có nghĩa là $a+1$ chia hết cho 5.

• "Xếp thành hàng 7, đẹp thay": Nghĩa là $a$ chia hết cho 7.

• "Biết số vịt chưa đến 200 con": Nghĩa là $a<200$.

Từ các điều kiện trên, ta có thể kết hợp chúng để tìm ra lời giải. Cụ thể, ta sẽ sử dụng các điều kiện liên quan đến bội chung.

Lời giải chi tiết:

Giả sử có a con vịt.

Theo các dữ kiện đề bài cho:

Hàng 2 xếp vẫn chưa vừa nghĩa là a là số lẻ ⇒ a + 1 ⋮ 2 (1)

Hàng 3 xếp vẫn còn thừa 1 con nghĩa là (a – 1) ⋮ 3     (2)

Hàng xếp 5 thiếu 1 con mới đầy nghĩa là (a + 1) ⋮ 5    (3)

Xếp thành hàng 7, đẹp thay nghĩa là a ⋮ 7    (4)

Số vịt chưa đến 200 con nghĩa là a < 200.

Từ (1) và (3) suy ra:

(a + 1) ∈ BC(2; 5) = B(10) = {0; 10; 20; 30; 40; …}.

Mà a ⋮ 7 nên a + 1 chia 7 dư 1.

Các số là bội của 10, chia 7 dư 1 là 50; 120; 190; 260;...

Mà a + 1 ≤ 200 nên a + 1 = 50 hoặc 120 hoặc 190.

• Trường hợp 1: a + 1 = 50 thì a = 49 ⋮ 7 (t/m (4))

a – 1 = 48 ⋮ 3 (t/m (2)).

Vậy a = 49 (thỏa mãn).

• Trường hợp 2: a + 1= 120

Suy ra a = 119, suy ra a – 1 = 118 ⋮̸ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).

• Trường hợp 3: a + 1 = 190

Suy ra a = 189, suy ra a – 1 = 188 ⋮̸ 3 (không thỏa mãn (2)) (Loại).

Vậy số vịt là 49 con.