[Đầy đủ] Các dạng bài tập toán tìm x lớp 6 có đáp án và lời giải Toán 6

Nhằm giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ khối kiến thức trọng tâm này, bài viết dưới đây từ Hay Học Hỏi sẽ phân loại chi tiết 7 dạng toán tìm $x$ kinh điển nhất, đi kèm hệ thống đề bài và hướng dẫn giải từng bước chuẩn nhất.

I. Hệ Thống 7 Dạng Bài Tập Tìm X Thường Gặp

Các em học sinh hãy ghi lại danh sách đề bài của từng chuyên đề dưới đây vào vở và thử tự mình giải trước khi đối chiếu với phần đáp án chi tiết ở mục sau nhé:

Dạng 1: Tìm x dựa vào tính chất các phép toán cơ bản

• Bài tập 1 (Tìm số tự nhiên $x$):

  • a) $(x - 15) \cdot 25 = 25$

  • b) $41 \cdot (x - 17) = 82$

  • c) $(5x - 25) : 5 = 100$

  • d) $21 - (2x + 1) = 12$

• Bài tập 2 (Tìm số nguyên $x$):

  • a) $(4x - 28) : 8 = 9^2 - 65$

  • b) $(x + 1) + (x + 2) + \dots + (x + 100) = 7450$

  • c) $25 + 5x - 4^3 = 251$

  • d) $1^3 + 2^3 + 3^3 - 4^2 \cdot x = 20$

Dạng 2: Tìm x chứa trong dấu giá trị tuyệt đối

• Bài tập 1: Tìm số nguyên $x$, sao cho:

  • a) $2 < |x| < 10$

  • b) $|x - 2| \leq 5$

  • c) $|x + 3| \geq 7$

  • d) $|x + 2| = 12 + (-3) + |-4|$

• Bài tập 2: Tìm số nguyên $x$, biết:

  • a) $|x - 1| = |-5| - 3$

  • b) $|x - 3| = 9$ và điều kiện $x > 0$

  • c) $|x + 1| = 6$ và điều kiện $x < 0$

  • d) $27 - |9 - x| = 7$

Dạng 3: Vận dụng quy tắc chuyển vế, dấu ngoặc và nhân phá ngoặc

• Bài tập 1: Tìm số chưa biết $x$:

  • a) $12x + 24 = 4x - 24$

  • b) $6 \cdot (4 - x) - 4 \cdot (x - 1) = 2x + 40$

  • c) $12 \cdot (2x + 7) - 9 \cdot (3x - 2) = 72$

  • d) $6 \cdot (x - 2) = 20 - 4x$

• Bài tập 2: Tìm số chưa biết $x$:

  • a) $(x - 5) \cdot (2x - 4) = 0$

  • b) $4 \cdot (x - 1) = 2x - 6 \cdot (x - 2)$

  • c) $(9 - x) + (x - 6) = 3 - (x - 12)$

  • d) $-152 - (3x + 1) = (-2) \cdot (-27)$

Dạng 4: Tìm x dựa vào tính chất hai phân số bằng nhau

• Bài tập 1: Tìm số nguyên $x$, biết:

  • a) $\frac{x}{-5} = \frac{-5}{25}$

  • b) $\frac{15}{x} = \frac{-5}{9}$

• Bài tập 2: Tìm số nguyên $x$, biết:

  • a) $\frac{x + 23}{40 + x} = \frac{6}{8}$

  • b) $\frac{x + 10}{9} = \frac{x}{3}$

  • c) $\frac{-14}{x} = \frac{-42}{x - 34}$

Dạng 5: Tìm x nguyên để biểu thức phân số có giá trị nguyên

• Bài tập 1: Tìm số nguyên $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

  • a) $A = \frac{5}{2x - 1}$

  • b) $B = \frac{x + 2}{x + 1}$

• Bài tập 2: Tìm số nguyên $x$ để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên:

  • a) $P = \frac{x + 3}{x}$

  • b) $Q = \frac{x + 9}{x + 3}$

Dạng 6: Tìm x dựa vào quan hệ chia hết toán học

• Bài tập 1: Tìm số nguyên $x$, biết:

  • a) $7x$ chia hết cho 3

  • b) $-22$ chia hết cho $x$

  • c) $-16$ chia hết cho $(x - 1)$

  • d) $(x + 19)$ chia hết cho 18

• Bài tập 2: Tìm số nguyên $x$, biết:

  • a) $(2x - 5)$ chia hết cho $(x - 1)$

  • b) $(x + 18 + 45)$ chia hết cho 9

Dạng 7: Tìm x dựa vào quan hệ ước, bội và tích số nguyên

• Bài tập 1: Tìm số tự nhiên $x$, biết:

  • a) $(x - 2)$ là ước của 9

  • b) $(2x + 3)$ là ước của 28

  • c) $(x + 15)$ là bội của $(x + 3)$

• Bài tập 2: Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ hoặc số tự nhiên thỏa mãn:

  • a) $(x + 1) \cdot (y - 2) = 3$

  • b) $(x + 2) \cdot (y - 1) = 2$

  • c) $x + y = 12$ và Ước chung lớn nhất $\text{ƯCLN}(x, y) = 5$

II. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Và Đáp Án Tham Khảo

Hướng dẫn giải Dạng 1

Bài tập 1

• a) $(x - 15) \cdot 25 = 25$

  $x - 15 = 25 : 25$

  $x - 15 = 1$

  $x = 1 + 15$

  $x = 16$

  Vậy $x = 16$.

• b) $41 \cdot (x - 17) = 82$

  $x - 17 = 82 : 41$

  $x - 17 = 2$

  $x = 2 + 17$

  $x = 19$

  Vậy $x = 19$.

• c) $(5x - 25) : 5 = 100$

  $5x - 25 = 100 \cdot 5$

  $5x - 25 = 500$

  $5x = 500 + 25$

  $5x = 525$

  $x = 525 : 5$

  $x = 105$

  Vậy $x = 105$.

• d) $21 - (2x + 1) = 12$

  $2x + 1 = 21 - 12$

  $2x + 1 = 9$

  $2x = 9 - 1$

  $2x = 8$

  $x = 8 : 2$

  $x = 4$

  Vậy $x = 4$.

Bài tập 2

• a) $(4x - 28) : 8 = 9^2 - 65$

  $(4x - 28) : 8 = 81 - 65$

  $(4x - 28) : 8 = 16$

  $4x - 28 = 16 \cdot 8$

  $4x - 28 = 128$

  $4x = 128 + 28$

  $4x = 156$

  $x = 156 : 4$

  $x = 39$

  Vậy $x = 39$.

• b) $(x + 1) + (x + 2) + \dots + (x + 100) = 7450$

  Mở ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng, ta thấy chuỗi tổng chứa 100 ẩn số $x$ và chuỗi số cách đều từ 1 đến 100:

  $100x + (1 + 2 + 3 + \dots + 100) = 7450$

  Áp dụng công thức tính nhanh chuỗi cách đều cho vế sau: $(100 + 1) \cdot 100 : 2 = 5050$.

  $100x + 5050 = 7450$

  $100x = 7450 - 5050$

  $100x = 2400$

  $x = 2400 : 100$

  $x = 24$

  Vậy $x = 24$.

• c) $25 + 5x - 4^3 = 251$

  $25 + 5x - 64 = 251$

  $5x - 39 = 251$

  $5x = 251 + 39$

  $5x = 290$

  $x = 290 : 5$

  $x = 58$

  Vậy $x = 58$.

• d) $1^3 + 2^3 + 3^3 - 4^2 \cdot x = 20$

  $1 + 8 + 27 - 16x = 20$

  $36 - 16x = 20$

  $16x = 36 - 20$

  $16x = 16$

  $x = 16 : 16$

  $x = 1$

  An tâm kết luận $x = 1$.

Hướng dẫn giải Dạng 2

Bài tập 1

• a) Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn $2 < |x| < 10$ Vì $x$ là số nguyên nên giá trị tuyệt đối $|x|$ có thể nhận các giá trị số tự nhiên nằm giữa số 2 và số 10 bao gồm: $|x| \in \{3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$.

  Do giá trị tuyệt đối của một số nguyên gồm cả giá trị dương và âm đối nhau, nên ta thu được tập hợp kết quả:

  $x \in \{3; -3; 4; -4; 5; -5; 6; -6; 7; -7; 8; -8; 9; -9\}$.

• b) Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn $|x - 2| \leq 5$ Biểu thức khoảng chặn giá trị tuyệt đối tương đương với khoảng chặn số học:

  $-5 \leq x - 2 \leq 5$

  Thực hiện cộng thêm 2 vào cả ba vế để cô lập biến số $x$:

  $-5 + 2 \leq x \leq 5 + 2$

  $-3 \leq x \leq 7$

  Vì $x$ thuộc tập số nguyên nên ta viết tập hợp đáp số là: $x \in \{-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}$.

• c) Tìm số nguyên $x$ thỏa mãn $|x + 3| \geq 7$ Bài toán được chia làm hai trường hợp độc lập:

  Trường hợp 1: $x + 3 \geq 7 \Rightarrow x \geq 7 - 3 \Rightarrow x \geq 4$

  Trường hợp 2: $x + 3 \leq -7 \Rightarrow x \leq -7 - 3 \Rightarrow x \leq -10$

  Kết luận: Số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện là mọi số nguyên $x \geq 4$ hoặc $x \leq -10$.

• d) Tìm $x$ từ biểu thức $|x + 2| = 12 + (-3) + |-4|$ Thực hiện thu gọn vế phải trước:

  $12 + (-3) + 4 = 13$

  Biểu thức trở thành: $|x + 2| = 13$. Ta xét hai khả năng xảy ra:

  Khả năng 1: $x + 2 = 13 \Rightarrow x = 11$

  Khả năng 2: $x + 2 = -13 \Rightarrow x = -15$

  Vậy $x = 11$ hoặc $x = -15$.

Bài tập 2

• a) $|x - 1| = |-5| - 3$

  $|x - 1| = 5 - 3$

  $|x - 1| = 2$

  Khả năng 1: $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$

  Khả năng 2: $x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1$

  Vậy tập hợp giá trị cần tìm là $x \in \{-1; 3\}$.

• b) $|x - 3| = 9$ với điều kiện kèm theo là số dương $x > 0$.

  Khả năng 1: $x - 3 = 9 \Rightarrow x = 12$ (thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0).

  Khả năng 2: $x - 3 = -9 \Rightarrow x = -6$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0).

  Kết luận: Giá trị số nguyên thỏa mãn duy nhất là $x = 12$.

• c) $|x + 1| = 6$ với điều kiện kèm theo là số âm $x < 0$.

  Khả năng 1: $x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5$ (loại vì không thỏa mãn điều kiện nhỏ hơn 0).

  Khả năng 2: $x + 1 = -6 \Rightarrow x = -7$ (thỏa mãn điều kiện nhỏ hơn 0).

  Kết luận: Giá trị số nguyên thỏa mãn duy nhất là $x = -7$.

• d) $27 - |9 - x| = 7$

  $|9 - x| = 27 - 7$

  $|9 - x| = 20$

  Khả năng 1: $9 - x = 20 \Rightarrow x = 9 - 20 \Rightarrow x = -11$

  Khả năng 2: $9 - x = -20 \Rightarrow x = 9 - (-20) \Rightarrow x = 29$

  Vậy $x = -11$ hoặc $x = 29$.

Hướng dẫn giải Dạng 3

Bài tập 1

• a) $12x + 24 = 4x - 24$

  Áp dụng quy tắc chuyển vế (chuyển các hạng tử chứa biến về vế trái, hằng số về vế phải và nhớ đổi dấu):

  $12x - 4x = -24 - 24$

  $8x = -48$

  $x = (-48) : 8$

  $x = -6$

  Vậy $x = -6$.

• b) $6 \cdot (4 - x) - 4 \cdot (x - 1) = 2x + 40$

  Thực hiện nhân phân phối phá dấu ngoặc ở vế trái:

  $24 - 6x - 4x + 4 = 2x + 40$

  $28 - 10x = 2x + 40$

  Thực hiện chuyển vế đổi dấu:

  $-10x - 2x = 40 - 28$

  $-12x = 12$

  $x = 12 : (-12)$

  $x = -1$

  Vậy $x = -1$.

• c) $12 \cdot (2x + 7) - 9 \cdot (3x - 2) = 72$

  Thực hiện nhân phá ngoặc cẩn thận nhầm dấu:

  $24x + 84 - 27x + 18 = 72$

  $-3x + 102 = 72$

  $-3x = 72 - 102$

  $-3x = -30$

  $x = (-30) : (-3)$

  $x = 10$

  Vậy $x = 10$.

• d) $6 \cdot (x - 2) = 20 - 4x$

  $6x - 12 = 20 - 4x$

  $6x + 4x = 20 + 12$

  $10x = 32$

  $x = 32 : 10$

  $x = 3,2$

  Do bài toán không giới hạn tập số, kết quả tìm được là $x = 3,2$.

Bài tập 2

• a) $(x - 5) \cdot (2x - 4) = 0$

  Tích bằng 0 khi ít nhất một trong hai thừa số bằng 0:

  Trường hợp 1: $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

  Trường hợp 2: $2x - 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$

  Mạch lạc kết luận, giá trị cần tìm là $x = 5$ hoặc $x = 2$.

• b) $4 \cdot (x - 1) = 2x - 6 \cdot (x - 2)$

  $4x - 4 = 2x - 6x + 12$

  $4x - 4 = -4x + 12$

  $4x + 4x = 12 + 4$

  $8x = 16$

  $x = 16 : 8$

  $x = 2$

  Vậy $x = 2$.

• c) $(9 - x) + (x - 6) = 3 - (x - 12)$

  Phá ngoặc phối hợp quy tắc đổi dấu vế phải:

  $9 - x + x - 6 = 3 - x + 12$

  $3 = 15 - x$

  $x = 15 - 3$

  $x = 12$

  Vậy $x = 12$.

• d) $-152 - (3x + 1) = (-2) \cdot (-27)$

  $-152 - 3x - 1 = 54$

  $-153 - 3x = 54$

  $-3x = 54 + 153$

  $-3x = 207$

  $x = 207 : (-3)$

  $x = -69$

  Vậy $x = -69$.

Hướng dẫn giải Dạng 4

Phương pháp chung cho dạng toán này là sử dụng tính chất tích chéo của hai phân số bằng nhau: Nếu có $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì ta suy ra biểu thức nhân chéo bằng nhau $a \cdot d = b \cdot c$.

Bài tập 1

• a) $\frac{x}{-5} = \frac{-5}{25}$

  Nhân chéo vế, ta được:

  $x \cdot 25 = (-5) \cdot (-5)$

  $25x = 25$

  $x = 25 : 25$

  $x = 1$

  Vậy $x = 1$.

• b) $\frac{15}{x} = \frac{-5}{9}$ (Điều kiện ẩn ở mẫu phải khác 0: $x \neq 0$) Nhân chéo vế, ta được:

  $(-5) \cdot x = 15 \cdot 9$

  $-5x = 135$

  $x = 135 : (-5)$

  $x = -27$

  Giá trị $x = -27$ hoàn toàn thỏa mãn điều kiện.

Bài tập 2

• a) $\frac{x + 23}{40 + x} = \frac{6}{8}$ (Điều kiện: $x \neq -40$) Rút gọn phân số vế phải thành $\frac{3}{4}$ trước khi nhân chéo:

  $\frac{x + 23}{40 + x} = \frac{3}{4}$

  Thực hiện nhân phân phối chéo vế:

  $4 \cdot (x + 23) = 3 \cdot (40 + x)$

  $4x + 92 = 120 + 3x$

  $4x - 3x = 120 - 92$

  $x = 28$

  Vậy giá trị số nguyên cần tìm là $x = 28$.

• b) $\frac{x + 10}{9} = \frac{x}{3}$

  Thực hiện nhân chéo vế:

  $3 \cdot (x + 10) = 9 \cdot x$

  $3x + 30 = 9x$

  $30 = 9x - 3x$

  $6x = 30$

  $x = 30 : 6$

  $x = 5$

  Vậy $x = 5$.

• c) $\frac{-14}{x} = \frac{-42}{x - 34}$ (Điều kiện: $x \neq 0$ và $x \neq 34$) Thực hiện nhân chéo vế:

  $-14 \cdot (x - 34) = -42 \cdot x$

  $-14x + 476 = -42x$

  $-42x + 14x = 476$

  $-28x = 476$

  $x = 476 : (-28)$

  $x = -17$

  Vậy giá trị số nguyên thỏa mãn điều kiện là $x = -17$.

Hướng dẫn giải Dạng 5

Phương pháp cốt lõi để một phân số nhận giá trị nguyên khi tử và mẫu là các đa thức nguyên là: Tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta tách tử số theo mẫu số để cô lập phần biến chữ số.

Bài tập 1

• a) Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $A = \frac{5}{2x - 1}$ nhận giá trị nguyên Để $A$ nguyên thì số 5 phải chia hết cho đa thức mẫu $(2x - 1)$. Hay nói cách khác, $(2x - 1)$ bắt buộc phải đóng vai trò là một ước nguyên của số 5.

  Tập hợp các ước của 5 là: $Ư(5) = \{1; -1; 5; -5\}$. Ta tiến hành lập bảng giá trị:

  • Nếu $2x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ (Thỏa mãn thuộc số nguyên).

  • Nếu $2x - 1 = -1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0$ (Thỏa mãn thuộc số nguyên).

  • Nếu $2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$ (Thỏa mãn thuộc số nguyên).

  • Nếu $2x - 1 = -5 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2$ (Thỏa mãn thuộc số nguyên).

    Kết luận: Tập hợp các số nguyên $x$ cần tìm là $x \in \{-2; 0; 1; 3\}$.

• b) Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $B = \frac{x + 2}{x + 1}$ nhận giá trị nguyên Ta thực hiện mẹo tách tử số làm xuất hiện mẫu số để rút gọn:

  $B = \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1}$

  Để biểu thức $B$ nhận giá trị nguyên thì phân số vế sau $\frac{1}{x + 1}$ bắt buộc phải là một số nguyên. Suy ra số 1 phải chia hết cho $(x + 1)$, nghĩa là $(x + 1) \in Ư(1) = \{1; -1\}$.

  • Khả năng 1: $x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$

  • Khả năng 2: $x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$

    Kết luận: Tập hợp giá trị số nguyên thỏa mãn là $x \in \{-2; 0\}$.

Bài tập 2

• a) Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $P = \frac{x + 3}{x}$ nhận giá trị nguyên Thực hiện tách nhỏ phân số: $P = \frac{x}{x} + \frac{3}{x} = 1 + \frac{3}{x}$.

  Để $P$ nguyên thì số 3 phải chia hết cho $x$, nghĩa là ẩn số $x$ đóng vai trò là ước nguyên của số 3.

  Tập hợp ước của 3 là: $Ư(3) = \{1; -1; 3; -3\}$.

  Kết luận: Vậy tập hợp giá trị cần tìm là $x \in \{-3; -1; 1; 3\}$.

• b) Tìm số nguyên $x$ để biểu thức $Q = \frac{x + 9}{x + 3}$ nhận giá trị nguyên Thực hiện tách tử số theo mẫu số:

  $Q = \frac{(x + 3) + 6}{x + 3} = 1 + \frac{6}{x + 3}$

  Để biểu thức $Q$ nguyên thì số 6 phải chia hết cho $(x + 3)$, nghĩa là đa thức mẫu thuộc tập hợp ước nguyên của số 6.

  Ta có: $Ư(6) = \{1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6\}$. Tiến hành lập bảng tính nhanh cho ẩn:

  • $x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2$

  • $x + 3 = -1 \Rightarrow x = -4$

  • $x + 3 = 2 \Rightarrow x = -1$

  • $x + 3 = -2 \Rightarrow x = -5$

  • $x + 3 = 3 \Rightarrow x = 0$

  • $x + 3 = -3 \Rightarrow x = -6$

  • $x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3$

  • $x + 3 = -6 \Rightarrow x = -9$

    Kết luận: Tập hợp các số nguyên $x$ thỏa mãn là $x \in \{-9; -6; -5; -4; -2; -1; 0; 3\}$.

Hướng dẫn giải Dạng 6

Bài tập 1

• a) Tìm số nguyên $x$ biết $7x$ chia hết cho 3 Vì số 7 và số 3 là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào lớn hơn 1). Theo tính chất chia hết của một tích số, để tích $7x$ chia hết cho 3 thì bản thân ẩn số $x$ bắt buộc phải chia hết cho 3.

  Kết luận: Số nguyên $x$ cần tìm là mọi số nguyên thuộc tập hợp bội của 3 (ký hiệu $x \in B(3)$ hay viết dạng tổng quát là $x = 3k$ với $k \in \mathbb{Z}$).

• b) Tìm số nguyên $x$ biết $-22$ chia hết cho $x$ Theo định nghĩa phép chia hết, ẩn số $x$ đóng vai trò là một ước số nguyên của hằng số $-22$.

  Tập hợp các ước của $-22$ là: $Ư(-22) = \{1; -1; 2; -2; 11; -11; 22; -22\}$.

  Kết luận: Tập hợp các giá trị $x$ thỏa mãn là các số nằm trong tập hợp ước trên.

• c) Tìm số nguyên $x$ biết $-16$ chia hết cho $(x - 1)$ Theo định nghĩa, đa thức $(x - 1)$ đóng vai trò là ước nguyên của hằng số $-16$.

  Ta có tập hợp ước: $Ư(-16) = \{1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8; 16; -16\}$.

  Thực hiện tính nhanh cộng thêm 1 đơn vị vào từng phần tử của tập hợp ước để tìm ẩn số:

  Kết luận: $x \in \{2; 0; 3; -1; 5; -3; 9; -7; 17; -15\}$.

• d) Tìm số nguyên $x$ biết $(x + 19)$ chia hết cho 18 Biểu thức cho thấy đa thức $(x + 19)$ chính là một bội của số 18. Ta viết biểu thức dưới dạng số học tổng quát:

  $x + 19 = 18k$ (với điều kiện $k$ thuộc tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$).

  Thực hiện cô lập biến số bằng cách chuyển vế hằng số:

  $x = 18k - 19$

  Kết luận: Vậy số nguyên $x$ có cấu trúc tổng quát là $x = 18k - 19$ với mọi số nguyên $k$.

Bài tập 2

• a) Tìm số nguyên $x$ để $(2x - 5)$ chia hết cho $(x - 1)$ Ta thực hiện phép tính biến đổi đa thức bị chia theo đa thức chia để thu gọn:

  $2x - 5 = 2x - 2 - 3 = 2 \cdot (x - 1) - 3$

  Để biểu thức tổng thể chia hết cho $(x - 1)$, do cụm tích đầu $2 \cdot (x - 1)$ đã hiển nhiên chia hết cho $(x - 1)$, nên số hạng còn lại là số 3 bắt buộc phải chia hết cho $(x - 1)$. Điều này tương đương với $(x - 1) \in Ư(3) = \{1; -1; 3; -3\}$.

  • Khả năng 1: $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$

  • Khả năng 2: $x - 1 = -1 \Rightarrow x = 0$

  • Khả năng 3: $x - 1 = 3 \Rightarrow x = 4$

  • Khả năng 4: $x - 1 = -3 \Rightarrow x = -2$

    Kết luận: Tập hợp giá trị số nguyên thỏa mãn là $x \in \{-2; 0; 2; 4\}$.

• b) Tìm số nguyên $x$ để $(x + 18 + 45)$ chia hết cho 9 Thực hiện tính nhanh thu gọn đa thức bị chia vế trước:

  $x + 18 + 45 = x + 63$

  Biểu thức bài toán trở thành: $(x + 63)$ chia hết cho 9.

  Do hằng số 63 đã luôn chia hết cho 9 ($63 : 9 = 7$), nên áp dụng tính chất chia hết của một tổng, để tổng chia hết cho 9 thì bản thân hạng tử còn lại là $x$ bắt buộc phải chia hết cho 9.

  Kết luận: Ẩn số $x$ cần tìm là mọi số nguyên là bội của 9 (ký hiệu $x \in B(9)$ hoặc dạng cấu trúc tổng quát $x = 9k$ với $k \in \mathbb{Z}$).

Hướng dẫn giải Dạng 7

Bài tập 1

• a) Tìm số tự nhiên $x$ biết $(x - 2)$ là ước của 9 Tập hợp các ước tự nhiên của số 9 là: $Ư(9) = \{1; 3; 9\}$. Ta tiến hành thiết lập các phép tính tìm ẩn số:

  • Khả năng 1: $x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ (thỏa mãn số tự nhiên).

  • Khả năng 2: $x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$ (thỏa mãn số tự nhiên).

  • Khả năng 3: $x - 2 = 9 \Rightarrow x = 11$ (thỏa mãn số tự nhiên).

    Kết luận câu a: Tập hợp các số tự nhiên cần tìm là $x \in \{3; 5; 11\}$.

• b) Tìm số tự nhiên $x$ biết $(2x + 3)$ là ước của 28 Tập hợp các ước tự nhiên của 28 là: $Ư(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}$. Do $x$ là số tự nhiên nên đại lượng biểu thức $(2x + 3)$ luôn là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 3. Lọc trong tập hợp ước của 28 các giá trị lẻ và lớn hơn hoặc bằng 3, ta chỉ chọn được số duy nhất thỏa mãn là số 7.

  Ta thiết lập phương trình số học:

  $2x + 3 = 7$

  $2x = 7 - 3$

  $2x = 4$

  $x = 4 : 2 = 2$ (thỏa mãn số tự nhiên).

  Kết luận câu b: Giá trị số tự nhiên cần tìm duy nhất là $x = 2$.

• c) Tìm số tự nhiên $x$ biết $(x + 15)$ là bội của $(x + 3)$ Theo định nghĩa, phép chia giữa hai đa thức phải là phép chia hết: $(x + 15) \ \vdots \ (x + 3)$.

  Ta thực hiện phân tích đa thức bị chia vế trước tương tự như các bài toán ở Dạng 6:

  $x + 15 = (x + 3) + 12$

  Để biểu thức chia hết cho $(x + 3)$ thì số hạng còn lại là hằng số 12 bắt buộc phải chia hết cho $(x + 3)$. Nghĩa là đa thức $(x + 3)$ đóng vai trò là ước tự nhiên của số 12.

  Vì $x \in \mathbb{N}$ nên biểu thức $(x + 3) \geq 3$. Tập hợp các ước tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3 của 12 bao gồm các số: $\{3; 4; 6; 12\}$.

  Ta thực hiện tìm nhanh cho ẩn số $x$ bằng cách trừ bớt đi 3 đơn vị:

  • $x + 3 = 3 \Rightarrow x = 0$

  • $x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1$

  • $x + 3 = 6 \Rightarrow x = 3$

  • $x + 3 = 12 \Rightarrow x = 9$

    Kết luận câu c: Tập hợp các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là $x \in \{0; 1; 3; 9\}$.

Bài tập 2

• a) Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn hệ thức tích $(x + 1) \cdot (y - 2) = 3$ Từ cấu trúc toán học của phép nhân này, hai đa thức nguyên $(x + 1)$ và $(y - 2)$ phải là cặp ước số nguyên phối hợp nhân nhau ra kết quả bằng 3.

  Tập hợp ước của 3 bao gồm bốn số: $\{1; -1; 3; -3\}$. Ta thực hiện chia làm bốn trường hợp nhỏ để ghép cặp giá trị:

  Trường hợp 1: $x + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ và $y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5$. Ta được cặp số $(0; 5)$.

  Trường hợp 2: $x + 1 = -1 \Rightarrow x = -2$ và $y - 2 = -3 \Rightarrow y = -1$. Ta được cặp số $(-2; -1)$.

  Trường hợp 3: $x + 1 = 3 \Rightarrow x = 2$ và $y - 2 = 1 \Rightarrow y = 3$. Ta được cặp số $(2; 3)$.

  Trường hợp 4: $x + 1 = -3 \Rightarrow x = -4$ và $y - 2 = -1 \Rightarrow y = 1$. Ta được cặp số $(-4; 1)$.

  Kết luận: Các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $(0; 5), \ (-2; -1), \ (2; 3), \ (-4; 1)$.

• b) Tìm cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn hệ thức tích $(x + 2) \cdot (y - 1) = 2$ Tương tự như cách lập luận ở câu a, hai đa thức phải đóng vai trò là các ước nguyên phối hợp của số 2. Tập hợp ước của 2 là: $\{1; -1; 2; -2\}$. Ta thực hiện chia các trường hợp:

  Trường hợp 1: $x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1$ và $y - 1 = 2 \Rightarrow y = 3$. Ta được cặp số $(-1; 3)$.

  Trường hợp 2: $x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3$ và $y - 1 = -2 \Rightarrow y = -1$. Ta được cặp số $(-3; -1)$.

  Trường hợp 3: $x + 2 = 2 \Rightarrow x = 0$ và $y - 1 = 1 \Rightarrow y = 2$. Ta được cặp số $(0; 2)$.

  Trường hợp 4: $x + 2 = -2 \Rightarrow x = -4$ và $y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$. Ta được cặp số $(-4; 0)$.

  Kết luận: Các cặp số nguyên thỏa mãn là: $(-1; 3), \ (-3; -1), \ (0; 2), \ (-4; 0)$.

• c) Tìm hai số tự nhiên $x, y$ biết tổng $x + y = 12$ và Ước chung lớn nhất $\text{ƯCLN}(x, y) = 5$ Vì $\text{ƯCLN}(x, y) = 5$, theo tính chất số học, ta có thể biểu diễn cấu trúc của hai ẩn số dưới dạng tích của 5 với các số hạng nguyên tố cùng nhau:

  $x = 5 \cdot m$ và $Y = 5 \cdot n$ (với điều kiện $m, n \in \mathbb{N}$ và $\text{ƯCLN}(m, n) = 1$).

  Thay cấu trúc vừa biểu diễn vào hệ thức tổng đề bài cho:

  $5 \cdot m + 5 \cdot n = 12$

  $5 \cdot (m + n) = 12$

  Thực hiện phép tính tìm tổng của hai ẩn số phụ:

  $m + n = 12 : 5 = 2,4$

  Nhận xét thấy kết quả phép tính chia này cho ra số thập phân $2,4$, điều này hoàn toàn mâu thuẫn với điều kiện $m, n$ phải là các số tự nhiên nằm trong tập hợp $\mathbb{N}$ (tổng của hai số tự nhiên bắt buộc phải là một số tự nhiên). Do xảy ra điều mâu thuẫn toán học nên bài toán này vô nghiệm.

  Kết luận: Không tồn tại cặp số tự nhiên $(x, y)$ nào thỏa mãn đồng thời hai điều kiện đề bài cho.