Cách nhân 2 lũy thừa cùng cơ số khác số mũ và bài tập vận dụng Toán 6

Bài viết này Hay Học Hỏi sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ công thức tổng quát, mẹo nhớ quy tắc phá ngoặc lũy thừa, đồng thời cung cấp kho bài tập vận dụng phong phú được giải chi tiết từng bước theo chuẩn tự luận để các em cùng thực hành làm chủ dạng toán này.

I. Quy Tắc Nhân 2 Lũy Thừa Cùng Cơ Số Khác Số Mũ

Để thực hiện phép toán nhân hai hoặc nhiều lũy thừa có cùng phần cơ số, phương pháp cốt lõi là chúng ta tiến hành giữ nguyên phần cơ số và cộng các số mũ lại với nhau.

Công thức tổng quát đại số:

Trong đó:

• $a$ được gọi là cơ số chung (với $a$ là số tự nhiên).

• $m$ và $n$ được gọi là các số mũ tự nhiên.

• Ví dụ mẫu: Thực hiện phép tính sau dưới dạng một lũy thừa: $3^4 \cdot 3^3$

  Áp dụng đúng công thức trên, ta giữ nguyên cơ số 3 và cộng hai số mũ 4 và 3 lại với nhau:

  $3^4 \cdot 3^3 = 3^{4+3} = 3^7$

II. Hệ Thống Bài Tập Thực Hành (Học Sinh Tự Giải)

Các em hãy lấy giấy nháp ra, áp dụng quy tắc giữ nguyên cơ số và cộng dồn số mũ để tự thực hành giải 3 bài tập chuyên đề dưới đây trước khi đối chiếu kết quả nhé:

• Bài tập 1: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

  • a) $3^3 \cdot 3^4$

  • b) $5^2 \cdot 5^7$

  • c) $7^5 \cdot 7$

• Bài tập 2: Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa duy nhất:

  • a) $2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4$

  • b) $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$

  • c) $x \cdot x^5$

  • d) $a^3 \cdot a^2 \cdot a^5$

• Bài tập 3 (Dạng toán nâng cao đổi cơ số): Hãy đưa các thừa số về cùng một cơ số rồi viết kết quả dưới dạng một lũy thừa duy nhất:

  • a) $4^8 \cdot 2^{20}$

  • b) $9^{12} \cdot 27^5 \cdot 81^4$

  • c) $64^3 \cdot 4^5 \cdot 16^2$

  • d) $25^{20} \cdot 125^4$

  • e) $x^7 \cdot x^4 \cdot x^3$

  • f) $3^6 \cdot 9^6$

  • g) $8^4 \cdot 2^3 \cdot 16^2$

  • h) $2^3 \cdot 2^2 \cdot 8^3$

  • i) $y \cdot y^7 \cdot y^2$

III. Hướng Dẫn Giải Chi Tiết Và Đáp An Tham Khảo

Hướng dẫn giải Bài tập 1

• Câu a: Thực hiện phép tính: $3^3 \cdot 3^4$

  Ta giữ nguyên cơ số 3 và cộng các số mũ:

  $3^{3+4} = 3^7$

• Câu b: Thực hiện phép tính: $5^2 \cdot 5^7$

  Ta giữ nguyên cơ số 5 và cộng các số mũ:

  $5^{2+7} = 5^9$

• Câu c: Thực hiện phép tính: $7^5 \cdot 7$

  Mẹo nhỏ từ Hay Học Hỏi: Khi một số tự nhiên đứng đơn lẻ không ghi kèm số mũ, các em cần ngầm hiểu số đó đang mang số mũ là 1 (nghĩa là $7 = 7^1$).

  Biểu thức phép tính được viết lại là:

  $7^5 \cdot 7^1$

  $= 7^{5+1}$

  $= 7^6$

Hướng dẫn giải Bài tập 2

Quy tắc cộng số mũ vẫn áp dụng hoàn toàn chính xác khi các em thực hiện nhân một chuỗi nhiều lũy thừa cùng cơ số hoặc biểu diễn dưới dạng biến chữ.

• Câu a: Thực hiện phép tính: $2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^4$

  $= 2^{3+2+4}$

  $= 2^9$

• Câu b: Thực hiện phép tính: $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10^5$

  $= 10^{2+3+5}$

  $= 10^{10}$

• Câu c: Thực hiện phép tính với biến số: $x \cdot x^5$

  $= x^1 \cdot x^5$

  $= x^{1+5}$

  $= x^6$

• Câu d: Thực hiện phép tính với biến số: $a^3 \cdot a^2 \cdot a^5$

  $= a^{3+2+5}$

  $= a^{10}$

Hướng dẫn giải Bài tập 3 (Nâng cao)

Để xử lý được dạng toán này, thử thách dành cho các em là các số hạng ban đầu chưa đồng nhất về mặt cơ số. Chúng ta cần vận dụng linh hoạt công thức tính lũy thừa của một lũy thừa: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ nhằm đưa toàn bộ chuỗi tích về cùng một cơ số cơ bản trước khi cộng số mũ.

• Câu a: Thực hiện phép tính: $4^8 \cdot 2^{20}$

  Ta đưa cơ số 4 về lũy thừa của cơ số 2:

  $(2^2)^8 \cdot 2^{20}$

  $= 2^{16} \cdot 2^{20}$

  $= 2^{16+20}$

  $= 2^{36}$

• Câu b: Thực hiện phép tính: $9^{12} \cdot 27^5 \cdot 81^4$

  Ta đưa toàn bộ các cơ số về lũy thừa của cơ số 3:

  $(3^2)^{12} \cdot (3^3)^5 \cdot (3^4)^4$

  $= 3^{24} \cdot 3^{15} \cdot 3^{16}$

  $= 3^{24+15+16}$

  $= 3^{55}$

• Câu c: Thực hiện phép tính: $64^3 \cdot 4^5 \cdot 16^2$

  Ta đưa toàn bộ các cơ số về lũy thừa của cơ số 2:

  $(2^6)^3 \cdot (2^2)^5 \cdot (2^4)^2$

  $= 2^{18} \cdot 2^{10} \cdot 2^8$

  $= 2^{18+10+8}$

  $= 2^{36}$

• Câu d: Thực hiện phép tính: $25^{20} \cdot 125^4$

  Ta đưa các cơ số về lũy thừa của cơ số 5:

  $(5^2)^{20} \cdot (5^3)^4$

  $= 5^{40} \cdot 5^{12}$

  $= 5^{40+12}$

  $= 5^{52}$

• Câu e: Thực hiện phép tính thu gọn biến chữ: $x^7 \cdot x^4 \cdot x^3$

  $= x^{7+4+3}$

  $= x^{14}$

• Câu f: Thực hiện phép tính: $3^6 \cdot 9^6$

  Ta đưa cơ số 9 về lũy thừa của cơ số 3:

  $3^6 \cdot (3^2)^6$

  $= 3^6 \cdot 3^{12}$

  $= 3^{6+12}$

  $= 3^{18}$

  (Cách giải khác: Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng số mũ khác cơ số ta có: $3^6 \cdot 9^6 = (3 \cdot 9)^6 = 27^6$, khi đưa số 27 về cơ số 3 ta cũng được kết quả trùng khớp là $(3^3)^6 = 3^{18}$).

• Câu g: Thực hiện phép tính: $8^4 \cdot 2^3 \cdot 16^2$

  Ta đưa toàn bộ biểu thức về lũy thừa cơ số 2:

  $(2^3)^4 \cdot 2^3 \cdot (2^4)^2$

  $= 2^{12} \cdot 2^3 \cdot 2^8$

  $= 2^{12+3+8}$

  $= 2^{23}$

• Câu h: Thực hiện phép tính: $2^3 \cdot 2^2 \cdot 8^3$

  Ta đưa cơ số 8 về lũy thừa của cơ số 2:

  $2^3 \cdot 2^2 \cdot (2^3)^3$

  $= 2^3 \cdot 2^2 \cdot 2^9$

  $= 2^{3+2+9}$

  $= 2^{14}$

• Câu i: Thực hiện phép tính thu gọn biến chữ: $y \cdot y^7 \cdot y^2$

  $= y^1 \cdot y^7 \cdot y^2$

  $= y^{1+7+2}$

  $= y^{10}$