Các dạng toán về Phân số và bài tập Toán 6 (đầy đủ, đễ hiểu)

Để giúp các em hệ thống lại kiến thức một cách khoa học, bài viết này Hay Học Hỏi sẽ tóm tắt toàn bộ lý thuyết cốt lõi, đồng thời phân loại 11 dạng toán về phân số thường gặp nhất kèm theo hướng dẫn giải chi tiết.

A. Tóm Tắt Lý Thuyết Cốt Lõi Về Phân Số

1. Quy tắc rút gọn phân số

Muốn rút gọn một phân số chưa tối giản, ta thực hiện chia cả tử số và mẫu số của phân số đó cho một ước chung khác $1$ và $-1$ của chúng.

2. Khái niệm phân số tối giản

Phân số tối giản (hay phân số không thể rút gọn được nữa) là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là $1$ và $-1$.

Mẹo tính nhanh: Khi ta chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của chúng, ta sẽ ngay lập tức thu được một phân số tối giản.

3. Một số lưu ý quan trọng

• Phân số $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản nếu giá trị tuyệt đối $|a|$ và $|b|$ là hai số nguyên tố cùng nhau (có ƯCLN bằng 1).

• Trong quá trình làm các bài toán tính toán biểu thức, sau khi ra kết quả cuối cùng, các em luôn luôn phải rút gọn phân số đó về dạng tối giản.

B. Các Dạng Toán Về Phân Số Và Phương Pháo Giải

Dạng 1: Quy đồng mẫu số nhiều phân số

• Phương pháp giải:

  • Bước 1: Tìm một bội chung (thường là BCNN) của các mẫu số để làm mẫu số chung (MSC).

  • Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu số bằng cách lấy mẫu số chung chia cho từng mẫu số riêng.

  • Bước 3: Nhân cả tử số và mẫu số của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

Bài tập thực hành: Quy đồng mẫu số các phân số sau:

a) $\frac{3}{4}$ và $\frac{7}{10}$

b) $\frac{8}{5}$ và $\frac{7}{20}$

c) $\frac{-5}{14}$ và $\frac{9}{22}$

d) $\frac{-2}{9}$ và $\frac{4}{25}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Mẫu số chung là $\text{BCNN}(4; 10) = 20$.

  Thừa số phụ lần lượt là $20 : 4 = 5$ và $20 : 10 = 2$.

  Ta được các phân số quy đồng: $\frac{15}{20}$ và $\frac{14}{20}$.

• Câu b: Mẫu số chung là $\text{BCNN}(5; 20) = 20$.

  Thừa số phụ của phân số thứ nhất là $20 : 5 = 4$.

  Ta được các phân số quy đồng: $\frac{32}{20}$ và $\frac{7}{20}$.

• Câu c: Mẫu số chung là $\text{BCNN}(14; 22) = 154$.

  Thừa số phụ lần lượt là $154 : 14 = 11$ và $154 : 22 = 7$.

  Ta được các phân số quy đồng: $\frac{-55}{154}$ và $\frac{63}{154}$.

• Câu d: Mẫu số chung là $\text{BCNN}(9; 25) = 225$.

  Thừa số phụ lần lượt là $225 : 9 = 25$ và $225 : 25 = 9$.

  Ta được các phân số quy đồng: $\frac{-50}{225}$ và $\frac{36}{225}$.

Dạng 2: So sánh các phân số

• Phương pháp giải:

  • Trong hai phân số có cùng một mẫu số dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

  • Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta thực hiện quy đồng để đưa chúng về dạng hai phân số có cùng một mẫu số dương, sau đó tiến hành so sánh các tử số với nhau.

Bài tập thực hành: So sánh các cặp phân số sau:

a) $\frac{5}{3}$ và $\frac{5}{2}$

b) $\frac{-3}{4}$ và $\frac{-4}{7}$

c) $\frac{-3}{7}$ và $\frac{4}{-9}$

d) $\frac{4}{5}$ và $\frac{3}{7}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Đây là hai phân số cùng tử số dương, mẫu số nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

  Vì $3 > 2$ nên ta có kết quả: $\frac{5}{3} < \frac{5}{2}$.

• Câu b: Quy đồng về mẫu số chung dương là 28, ta được hai phân số:

  $\frac{-21}{28}$ và $\frac{-16}{28}$

  Vì $-21 < -16$ nên ta có kết quả: $\frac{-3}{4} < \frac{-4}{7}$.

• Câu c: Đưa dấu trừ ở mẫu lên tử rồi quy đồng về mẫu chung 63, ta được hai phân số:

  $\frac{-27}{63}$ và $\frac{-28}{63}$

  Vì $-27 > -28$ nên ta có kết quả: $\frac{-3}{7} > \frac{4}{-9}$.

• Câu d: Quy đồng về mẫu số chung 35, ta được hai phân số:

  $\frac{28}{35}$ và $\frac{15}{35}$

  Vì $28 > 15$ nên ta có kết quả: $\frac{4}{5} > \frac{3}{7}$.

Dạng 3: Hai phân số bằng nhau và tìm ẩn số $x$

• Phương pháp giải: Theo định nghĩa, hai phân số $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ gọi là bằng nhau nếu tích chéo của chúng bằng nhau, nghĩa là $a \cdot d = b \cdot c$. Từ đẳng thức tích này, ta thực hiện tìm ẩn số $x$ chưa biết.

Bài tập thực hành: Tìm số nguyên $x$ biết:

a) $\frac{x}{7} = \frac{6}{21}$

b) $\frac{x}{60} = \frac{-3}{4}$

c) $\frac{-2}{3} = \frac{x}{30}$

d) $\frac{2}{5} = \frac{12}{x}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Thực hiện nhân chéo vế:

  $x \cdot 21 = 6 \cdot 7$

  $21x = 42$

  $x = 42 : 21$

  $x = 2$

• Câu b: Thực hiện nhân chéo vế:

  $x \cdot 4 = (-3) \cdot 60$

  $4x = -180$

  $x = -180 : 4$

  $x = -45$

• Câu c: Thực hiện nhân chéo vế:

  $3 \cdot x = (-2) \cdot 30$

  $3x = -60$

  $x = -60 : 3$

  $x = -20$

• Câu d: Thực hiện nhân chéo vế:

  $2 \cdot x = 12 \cdot 5$

  $2x = 60$

  $x = 60 : 2$

  $x = 30$

Dạng 4: Phép cộng các phân số

• Phương pháp giải:

  • Cộng hai phân số cùng mẫu: Ta thực hiện cộng các tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.

  • Cộng hai phân số khác mẫu: Ta thực hiện quy đồng mẫu số để đưa chúng về cùng một mẫu số dương, sau đó cộng các tử số và giữ nguyên mẫu số chung.

Bài tập thực hành: Thực hiện phép tính cộng:

a) $\frac{3}{4} + \frac{-5}{4}$

b) $\frac{3}{5} + \frac{-1}{3}$

c) $2 + \frac{-5}{8}$

d) $\frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{-1}{9}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: $\frac{3 + (-5)}{4} = \frac{-2}{4} = \frac{-1}{2}$

• Câu b: Quy đồng mẫu chung là 15: $\frac{9}{15} + \frac{-5}{15} = \frac{9 + (-5)}{15} = \frac{4}{15}$

• Câu c: Viết số 2 dưới dạng phân số $\frac{16}{8}$: $\frac{16}{8} + \frac{-5}{8} = \frac{16 + (-5)}{8} = \frac{11}{8}$

• Câu d: Quy đồng mẫu chung của cả ba phân số là 45: $\frac{36}{45} + \frac{30}{45} + \frac{-5}{45} = \frac{36 + 30 - 5}{45} = \frac{61}{45}$

Dạng 5: Phép trừ các phân số

• Phương pháp giải: Muốn trừ một phân số cho một phân số khác, ta thực hiện cộng số bị trừ với số đối của số trừ:

  $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \left( -\frac{c}{d} \right)$$

Bài tập thực hành: Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{12} - \frac{2}{3}$

b) $\frac{1}{7} - \frac{1}{8}$

c) $\frac{-3}{5} + \frac{5}{7}$

d) $\frac{1}{3} - \frac{1}{-4} - \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Quy đồng mẫu chung là 12: $\frac{1}{12} - \frac{8}{12} = \frac{1 - 8}{12} = \frac{-7}{12}$

• Câu b: Quy đồng mẫu chung là 56: $\frac{8}{56} - \frac{7}{56} = \frac{8 - 7}{56} = \frac{1}{56}$

• Câu c: Quy đồng mẫu chung là 35: $\frac{-21}{35} + \frac{25}{35} = \frac{-21 + 25}{35} = \frac{4}{35}$

• Câu d: Đổi dấu trừ ở mẫu và phá ngoặc: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$. Quy đồng mẫu chung là 12, ta được: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} - \frac{6}{12} = \frac{4 + 3 - 6}{12} = \frac{1}{12}$

Dạng 6: Phép nhân các phân số

• Phương pháp giải: Muốn nhân hai phân số với nhau, ta thực hiện nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau:

  $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Bài tập thực hành: Thực hiện phép tính nhân:

a) $\frac{-7}{4} \cdot \frac{-3}{5}$

b) $\frac{6}{25} \cdot \frac{-15}{4}$

c) $\frac{8}{3} \cdot \frac{-5}{6}$

d) $\left( \frac{-2}{3} \right)^2$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: $\frac{(-7) \cdot (-3)}{4 \cdot 5} = \frac{21}{20}$

• Câu b: Thực hiện rút gọn chéo trước khi nhân: $\frac{3 \cdot (-3)}{5 \cdot 2} = \frac{-9}{10}$

• Câu c: Thực hiện tính toán và rút gọn phân số: $\frac{8 \cdot (-5)}{3 \cdot 6} = \frac{-40}{18} = \frac{-20}{9}$

• Câu d: Khai triển lũy thừa bậc hai: $\frac{(-2) \cdot (-2)}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9}$

Dạng 7: Phép chia các phân số

• Phương pháp giải: Muốn chia một phân số (hoặc một số nguyên) cho một phân số khác, ta thực hiện lấy số bị chia nhân với phân số nghịch đảo của số chia:

  $$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
  $$a : \frac{c}{d} = a \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{c} \quad (\text{với } c \neq 0)$$

• Lưu ý: Hai số được gọi là nghịch đảo của nhau khi và chỉ khi tích của chúng bằng 1.

Bài tập thực hành: Thực hiện phép tính chia:

a) $\frac{2}{9} : \frac{24}{7}$

b) $\left( -\frac{7}{8} \right) : 2$

c) $\frac{2}{3} : \frac{-7}{5}$

d) $\left( \frac{5}{21} \cdot \frac{7}{15} \right) : \frac{1}{4}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Nhân nghịch đảo phân số: $\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{24} = \frac{1 \cdot 7}{9 \cdot 12} = \frac{7}{108}$

• Câu b: Nhân nghịch đảo số nguyên: $-\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{-7 \cdot 1}{8 \cdot 2} = \frac{-7}{16}$

• Câu c: Nhân nghịch đảo phân số: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{-7} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot (-7)} = \frac{10}{-21} = \frac{-10}{21}$

• Câu d: Thu gọn biểu thức trong ngoặc trước: $\frac{5 \cdot 7}{21 \cdot 15} = \frac{1}{9}$. Sau đó thực hiện phép chia: $\frac{1}{9} : \frac{1}{4} = \frac{1}{9} \cdot 4 = \frac{4}{9}$

Dạng 8: Tìm giá trị phân số của một số cho trước

• Phương pháp giải: Muốn tìm giá trị của phân số $\frac{m}{n}$ của một số $b$ cho trước, ta thực hiện lấy số $b$ nhân với phân số $\frac{m}{n}$ (với điều kiện $m, n \in \mathbb{N}$ và $n \neq 0$):

  $$\text{Giá trị cần tìm} = b \cdot \frac{m}{n}$$

Bài tập thực hành: Tìm giá trị của các biểu thức sau:

a) $\frac{5}{6}$ của số 60

b) $\frac{5}{8}$ của số 96

c) $\frac{1}{4}$ của số 328

d) $\frac{5}{7}$ của số 189

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Thực hiện phép nhân: $60 \cdot \frac{5}{6} = 10 \cdot 5 = 50$

• Câu b: Thực hiện phép nhân: $96 \cdot \frac{5}{8} = 12 \cdot 5 = 60$

• Câu c: Thực hiện phép nhân: $328 \cdot \frac{1}{4} = 82$

• Câu d: Thực hiện phép nhân: $189 \cdot \frac{5}{7} = 27 \cdot 5 = 135$

Dạng 9: Tìm một số khi biết giá trị phân số của nó

• Phương pháp giải: Muốn tìm một số khi biết giá trị phân số $\frac{m}{n}$ của nó bằng hằng số $a$, ta thực hiện lấy giá trị $a$ chia cho phân số $\frac{m}{n}$ (với điều kiện $m, n \in \mathbb{N}^*$):

  $$\text{Số cần tìm} = a : \frac{m}{n}$$

Bài tập thực hành: Tìm một số biết:

a) $\frac{3}{5}$ của số đó bằng 8,1

b) $\frac{2}{5}$ của số đó bằng 7,5

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Phép tính tìm số: $8,1 : \frac{3}{5} = 8,1 \cdot \frac{5}{3} = 2,7 \cdot 5 = 13,5$

• Câu b: Phép tính tìm số: $7,5 : \frac{2}{5} = 7,5 \cdot \frac{5}{2} = 37,5 : 2 = 18,75$

Dạng 10: Tìm tỉ số và tỉ số phần trăm của hai số

• Phương pháp giải: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số $a$ và $b$, ta thực hiện lấy số $a$ nhân với 100 rồi chia cho số $b$, sau đó viết thêm ký hiệu $\%$ vào bên phải kết quả thu được:

  $$\text{Tỉ số phần trăm} = \frac{a \cdot 100}{b}\%$$

Bài tập thực hành: Tìm tỉ số phần trăm của $a$ và $b$ biết:

1. $a = 2\frac{2}{5}$ và $b = \frac{4}{5}$

2. $a = 3\frac{1}{3}$ và $b = \frac{2}{5}$

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu 1: Đổi hỗn số $a = \frac{12}{5}$. Lập tỉ số giữa $a$ và $b$:

  $\frac{12}{5} : \frac{4}{5} = 3$

  Tính tỉ số phần trăm: $3 \cdot 100\% = 300\%$

• Câu 2: Đổi hỗn số $a = \frac{10}{3}$. Lập tỉ số giữa $a$ và $b$:

  $\frac{10}{3} : \frac{4}{5} = \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{25}{6}$

  Tính tỉ số phần trăm: $\frac{25}{6} \cdot 100\% \approx 416,7\%$

Dạng 11: Ứng dụng toán về biểu đồ phần trăm

• Phương pháp giải: Tìm giá trị tỷ lệ $b\%$ của một số $a$ cho trước, ta áp dụng công thức nhân phân số phần trăm:

  $$\text{Giá trị cần tính} = \frac{a \cdot b}{100}$$

Bài tập thực hành: Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $28\%$ của số 376

b) $9\%$ của số 12

c) $2,6\%$ của số 12,5

d) $3,5\%$ của số 42,8

Hướng dẫn giải và đáp số:

• Câu a: Phép tính số: $376 \cdot 28 : 100 = 105,28$

• Câu b: Phép tính số: $12 \cdot 9 : 100 = 1,08$

• Câu c: Phép tính số: $12,5 \cdot 2,6 : 100 = 0,325$

• Câu d: Phép tính số: $42,8 \cdot 3,5 : 100 = 1,498$