Cách phân tích 1 số ra thừa số Nguyên tố và các dạng Bài tập vận dụng - Toán lớp 6

Trong bài viết này, chúng ta cùng tìm hiểu cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố, qua đó vận dụng vào giải một số dạng bài tập thí dụ để rèn luyện kỹ năng giải toán dạng này.

1. Số nguyên tố là gì?

• Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

* Ví dụ: Ư(5) = {1; 5} nên 5 là số nguyên tố

 Ư(17) = {1; 17} nên 17 là số nguyên tố

• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.

* Ví dụ: Ư(9) = {1; 3; 9} là hợp số (có 3 ước)

 Ư(15) = {1; 3; 5; 15} là hợp số (có 4 ước)

2. Cách nhận biết 1 số là số nguyên tố

- Để kết luận số a là số nguyên tố (a>1), chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương không vượt quá a.

3. Cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố

• Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

• Muốn phân tích một số tự nhiên a lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố ta có thể làm như sau:

1- Kiểm tra xem 2 có phải là ước của a hay không. Nếu không ta xét số nguyên tố 3 và cứ như thế đối với các số nguyên tố lớn dần.

2- Giả sử p là ước nguyên tố nhỏ nhất của a, ta chia a cho p được thương b.

3- Tiếp tục thực hiện quy trình trên đối với b.

¤ Quá trình trên kéo dài cho đến khi ta được thương là một số nguyên tố.

• Cách phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc.

- Giả sử cần phân tích số ra ra thừa số nguyên tố: Ta chia số a cho một số nguyên tố (xét từ nhỏ đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...), tiếp tục chia thương tìm được cho một số nguyên tố (cũng xét từ nhỏ đến lớn), cứ tiếp tục như vậy cho đến khi thương bằng 1.

* Lưu ý khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố:

- Mỗi bước phân tích đều lần lượt xét tính chia hết cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2, 3, 5, 7, 11, 13,...

- Cần vận dụng các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 đã học trong quá trình xét tính chia hết.

- Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố theo cột dọc thì các số nguyên tố được viết bên phải cột, các thương được viết bên trái cột.

- Dù phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cũng cho cùng một kết quả.

* Ví dụ: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 160; 300

° Với số 160 ta phân tích như sau:

→ Như vậy: 160 = 2.2.2.2.2.5 = 2⁵.5

° Với số 300 ta phân tích như sau:

→ Như vậy: 300 = 2.2.5.3.5 = 2².3.5²

4. Cách tính số lượng các ước của một số m (m>1)

• Ta xét dạng phân tích của số m ra thừa số nguyên tố:

- Nếu m = a^x thì m có x + 1 ước

- Nếu m = a^x.b^y thì m có (x + 1)(y + 1) ước

- Nếu m = a^x.b^y.c^z thì m có (x+ 1)(y + 1)(z + 1) ước.

5. Một số dạng bài tập phân tích ra thừa số nguyên tố thường gặp

° Dạng 1: Phân tích 1 số cho trước ra thừa số nguyên tố

* Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố theo cột dọc ở trên.

* Ví dụ 1 (Bài 125 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:

a) 60       b) 84       c) 285

d) 1035      e) 400     g) 1000000

° Lời giải:

a) Phân tích số 60 ra thừa số nguyên tố:

→ Như vậy: 60 = 2.2.3.5 = 2².3.5

- Hoặc viết gọn: 60 = 2.30 = 2.2.15 = 2.2.3.5 = 2².3.5;

→ Tương tự ta có:

b) 84 = 2.42 = 2.2.21 = 2.2.3.7 = 2².3.7

c) 285 = 3.95 = 3.5.19

d) 1035 = 3.345 = 3.3.115 = 3.3.5.23 = 3².5.23

e) 400 = 2.200 = 2.2.100 = 2.2.2.50 = 2.2.2.2.25 = 2.2.2.2.5.5 = 2⁴.5²

g) - Cách 1 (sử dụng pp cột dọc như thông thường:

 1 000 000 = 2.500 000 = 2.2.250 000 = 2.2.2.125 000

 = 2.2.2.2.62500 = 2.2.2.2.2.31250 = 2.2.2.2.2.2.15625

 = 2⁶.5.3125 = 2⁶.5.5.625 = 2⁶.5.5.5.125 = 2⁶.5.5.5.5.25

 = 2⁶.5.5.5.5.5.5 = 2⁶.5⁶

- Cách 2 (vận dụng tính chất lũy thừa): 1 000 000 = 10⁶ = (2.5)⁶ = 2⁶.5⁶

* Ví dụ 2 (Bài 126 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): An phân tích các số 120; 306; 567 ra thừa số nguyên tố như sau:

120 = 2.3.4.5;   306 = 2.3.51;   567 = 9².7

An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm không đúng?

° Lời giải:

- An làm như trên không đúng. Vì phép phân tích 120 còn chứa thừa số 4; 306 còn chứa thừa số 51; 567 còn chứa thừa số 9 đều không phải số nguyên tố.

- Ta sửa lại như sau (bằng cách tiếp tục phân tích các thừa số chưa nguyên tố ra các thừa số nguyên tố):

 120 = 2.3.4.5 = 2.3.(2.2).5 = 2³.3.5;

 306 = 2.3.51 = 2.3.(3.17) = 2.3².17;

 567 = 92.7 = 9.9.7 = 3².3².7 = 3⁴.7;

* Ví dụ 3 (Bài 127 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi cho biết các số sau chia hết cho các số nguyên tố nào?

a) 225 ;     b) 1800 ;     c) 1050 ;      d) 3060

° Lời giải:

a) 225 = 5.45 = 5.5.9 = 5.5.3.3 = 3².5².

 hoặc 225 = 15² = (3.5)² = 15 = 3².5².

→ Vậy 225 chia hết cho các số nguyên tố 3 và 5.

b) 1800 = 2.900 = 2.2.450 = 2.2.2.225 = 2³.3².5² (vì 225 = 3².5² ở câu a).

 hoặc 1800 = 30.60 = (2.15).(4.15) = (2.3.5).(2².3.5) = 2.2².3.3.5.5 = 2³.3².5².

→ Vậy 1800 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5.

c) 1050 = 2.525 = 2.3.175 = 2.3.5.35 = 2.3.5.5.7 = 2.3.5².7

→ Vậy 1050 chia hết cho các số nguyên tố 2; 3; 5; 7.

d) 3060 = 2.1530 = 2.2.765 = 2.2.5.153 = 2.2.5.3.51 = 2.2.5.3.3.17 = 2².3².5.17

→ Vậy 3060 chia hết cho các số nguyên tố 2, 3, 5, 17.

° Dạng 2: Phân tích 1 số cho trước ra thừa số nguyên tố để tìm ước số của nó

* Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp phân tích ra thừa số nguyên tố theo cột dọc ở trên.

- Phân tích số cho trước ra thừa số nguyên tố

- Nếu c = a.b thì a và b là 2 ước của c

* Cần nhớ: a = b.q ⇔ a ∈ B(b) và b ∈ Ư(a) (với a, b, q ∈ N và b ≠ 0).

* Ví dụ 1 (Bài 128 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Cho số a = 2³.5².11. Mỗi số 4, 8, 16, 11, 20 có là ước của a hay không?

° Lời giải:

• a = 2³.5².11 = 2².2.5².11 = 4.2.5².11 ⋮ 4 do đó 4 là ước của a.

• a = 2³.5².11 = 8.5².11 ⋮ 8 do đó 8 là ước của a.

• 16 không phải ước của a vì nếu 16 là ước của a thì a = 16.k = 2⁴.k, nghĩa là khi phân tích a thành thừa số nguyên tố thì bậc của 2 phải ≥ 4. (trái với đề bài vì bậc của 2 chỉ bằng 3).

• a = 2³.5².11 ⋮ 11 do đó 11 là ước của a.

• a = 2³.5².11 = 2.2.2.5.5.11 = 2.(2.2.5).5.11 = 2.20.5.11 ⋮ 20 do đó 20 là ước của.

* Ví dụ 2 (Bài 129 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1):

a) Cho số a = 5.13. Hãy viết tất cả các ước của a.

b) Cho số b = 2⁵. Hãy viết tất cả các ước của b.

c) Cho số c = 3².7. Hãy viết tất cả các ước của c.

° Lời giải:

a) a = 5.13. Các ước của a (5.13 = 65) là 1; 5; 13; 

b) b = 2⁵. Các ước của b ( 2⁵ = 32) là 1; 2; 2² = 4; 2³ = 8 ; 2⁴ = 16;

c) c = 3².7. Các ước của c ( 3².7 = 63) là: 1; 3; 7 ; 3² = 9 ; 3.7 = 21;

* Ví dụ 3 (Bài 130 trang 50 SGK Toán 6 Tập 1): Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của mỗi số:

 51;    75;    42;    30;

° Lời giải:

• 51 = 3.17; ⇒ Ư(51) = {1; 3; 17; 51}.

• 75 = 3.25 = 3. 5²; ⇒ Ư(75) = {1; 3; 5; 15; 25; 75}.

• 42 = 2.3.7 ; ⇒ Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}

• 30 = 2.3.5; ⇒ Ư(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

* Ví dụ 4 (Bài 132 trang 50 sgk Toán 6 Tập 1): Tâm có 28 viên bi. Tâm muốn xếp số bi đó vào các túi sao cho số bi ở các túi đều bằng nhau. Hỏi Tâm có thể xếp 28 viên bi đó vào mấy túi? (kể cả trường hợp xếp vào một túi)

° Lời giải:

- Ta có : số bi = (số túi)*(số bi trong 1 túi)

- Do đó số túi phải là ước của 28 (vì số bi bằng 28).

 Mà Ư(28) = {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28}.

→ Vậy Tâm có thể xếp 28 bi vào 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 hoặc 28 túi.

* Ví dụ 5 (Bài 133 trang 50 sgk Toán 6 Tập 1):

a) Phân tích số 111 ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của 111.

b) Thay dấu _* bởi chữ số thích hợp để  

° Lời giải:

a) Ta có 111 = 3.37 ; Ư(111) = {1, 3, 37, 111}.

b) Từ  nên ta có  và _* đều là ước của 111.

- Mà ước có 2 chữ số của 111 chỉ có 37. Do đó  = 37, suy ra _* = 3.

→ Vậy ta có 37.3 = 111.

° Dạng 3: Một số dạng toán tổng hợp vận dụng Phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố

* Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp phân tích 1 số ra thừa số nguyên tố.

* Ví dụ (Bài 131 trang 50 sgk Toán 6 Tập 1): 

a) Tích của hai số tự nhiên bằng 42. Tìm mỗi số.

b) Tích của hai số tự nhiên a và b bằng 30. Tìm a và b biết rằng a < b.