Cách phân tích 1 số ra thừa số Nguyên tố và các dạng Bài tập Toán 6 (cực nhanh)

Trong bài viết này, Hay Học Hỏi sẽ hệ thống lại toàn bộ lý thuyết trọng tâm, hướng dẫn mẹo phân tích theo sơ đồ cột dọc chuẩn xác và tổng hợp các dạng bài tập vận dụng từ sách giáo khoa đến nâng cao để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.

I. Kiến Thức Trọng Tâm Cần Nhớ

1. Số nguyên tố và hợp số là gì?

• Số nguyên tố: Là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có duy nhất hai ước là 1 và chính nó.

  Ví dụ: Tập hợp ước của 5 là $Ư(5) = \{1; 5\}$ nên 5 là số nguyên tố. Tập hợp ước của 17 là $Ư(17) = \{1; 17\}$ nên 17 là số nguyên tố.

• Hợp số: Là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước số.

  Ví dụ: Tập hợp ước của 9 là $Ư(9) = \{1; 3; 9\}$ nên 9 là một hợp số. Tập hợp ước của 15 là $Ư(15) = \{1; 3; 5; 15\}$ nên 15 là một hợp số.

Lưu ý: Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố và cũng không phải là hợp số. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất.

2. Cách nhận biết một số là số nguyên tố

Để kết luận một số tự nhiên $a$ lớn hơn 1 là số nguyên tố, các em chỉ cần chứng tỏ rằng nó không chia hết cho mọi số nguyên tố mà bình phương của số nguyên tố đó không vượt quá $a$.

3. Phương pháp phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích chứa các thừa số đều là số nguyên tố.

Quy trình phân tích cơ bản:

• Bước 1: Kiểm tra xem số nguyên tố nhỏ nhất là 2 có phải là ước của số đó không. Nếu không, ta xét tiếp đến số nguyên tố tăng dần là 3, rồi đến 5, 7, 11,...

• Bước 2: Chia số đó cho ước nguyên tố nhỏ nhất vừa tìm được để lấy thương.

• Bước 3: Tiếp tục thực hiện quy trình chia này đối với thương mới thu được. Quá trình này sẽ dừng lại khi ta nhận được thương cuối cùng bằng 1.

Kỹ thuật phân tích theo cột dọc:

Khi làm bài tập tự luận, các em thực hiện kẻ một đường dọc. Số cần phân tích và các thương thu được viết ở bên trái cột, còn các ước số nguyên tố chia lần lượt từ nhỏ đến lớn sẽ được viết ở bên phải cột.

Ví dụ minh họa: Phân tích các số 160 và 300 ra thừa số nguyên tố.

• Với số 160, ta thực hiện chia theo cột dọc:

Từ cột dọc trên, ta viết được kết quả:

$160 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$

$160 = 2^5 \cdot 5$

• Với số 300, ta thực hiện chia theo cột dọc:

Từ cột dọc trên, ta viết được kết quả:

$300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$

$300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

Mẹo hay từ Hay Học Hỏi: Dù các em phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố theo cách kẻ cột dọc hay theo sơ đồ nhánh cây thì luôn luôn cho ra một kết quả đồng nhất duy nhất. Khi viết kết quả, chúng ta nên viết các thừa số nguyên tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn và gộp các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

4. Công thức tính số lượng ước của một số tự nhiên

Sau khi phân tích số tự nhiên $m$ ($m > 1$) ra thừa số nguyên tố dưới dạng tổng quát, ta có thể tính nhanh xem số đó có tất cả bao nhiêu ước số bằng công thức:

• Nếu $m = a^x$ thì số lượng ước của $m$ là: $x + 1$

• Nếu $m = a^x \cdot b^y$ thì số lượng ước của $m$ là: $(x + 1)(y + 1)$

• Nếu $m = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ thì số lượng ước của $m$ là: $(x + 1)(y + 1)(z + 1)$

II. Các Dạng Bài Tập Vận Dụng Chi Tiết

Dạng 1: Phân tích một số cho trước ra thừa số nguyên tố

Bài toán 1 (Bài 125 SGK Toán 6): Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố bằng phương pháp cột dọc hoặc sơ đồ nhánh:

a) 60

b) 84

c) 285

d) 1035

e) 400

g) 1 000 000

Lời giải chi tiết:

• a) Phân tích số 60:

  $60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$

  Kết quả thu gọn: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

• b) Phân tích số 84:

  $84 = 2 \cdot 42 = 2 \cdot 2 \cdot 21 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$

  Kết quả thu gọn: $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$

• c) Phân tích số 285:

  Do số này có chữ số tận cùng là 5 và tổng các chữ số là $2+8+5=15$ chia hết cho 3, ta chia lần lượt cho 3 rồi đến 5:

  $285 = 3 \cdot 95 = 3 \cdot 5 \cdot 19$

• d) Phân tích số 1035:

  $1035 = 3 \cdot 345 = 3 \cdot 3 \cdot 115 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23$

  Kết quả thu gọn: $1035 = 3^2 \cdot 5 \cdot 23$

• e) Phân tích số 400:

  $400 = 2 \cdot 200 = 2 \cdot 2 \cdot 100 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 50 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25 = 2^4 \cdot 5^2$

  Kết quả thu gọn: $400 = 2^4 \cdot 5^2$

• g) Phân tích số 1 000 000:

  Cách tính nhanh ứng dụng lũy thừa: Ta đưa số tròn triệu về dạng lũy thừa cơ số 10:

  $1 000 000 = 10^6$

  Tách cơ số 10 thành tích của hai số nguyên tố 2 và 5:

  $= (2 \cdot 5)^6$

  $= 2^6 \cdot 5^6$

Bài toán 2: Bạn An thực hiện phân tích các số 120; 306; 567 ra thừa số nguyên tố như dưới đây:

$120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$

$306 = 2 \cdot 3 \cdot 51$

$567 = 9^2 \cdot 7$

Theo em, bạn An làm như trên có đúng không? Nếu sai, em hãy giúp bạn An sửa lại cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

Bạn An thực hiện phân tích như trên là Sai. Vì trong kết quả phép tính tích của bạn vẫn còn chứa các số như số 4, số 51 và số 9. Đây đều là các hợp số, không phải là số nguyên tố theo đúng định nghĩa.

Ta giúp bạn An sửa lại bằng cách tiếp tục phân tích các hợp số này về dạng số nguyên tố tối giản:

• Số 120 sửa lại là: $2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

• Số 306 sửa lại là: $2 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 17) = 2 \cdot 3^2 \cdot 17$

• Số 567 sửa lại là: $(3^2)^2 \cdot 7 = 3^4 \cdot 7$

Bài toán 3: Hãy phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố, từ đó cho biết mỗi số chia hết cho những số nguyên tố nào?

a) 225

b) 1800

c) 1050

d) 3060

Lời giải chi tiết:

• a) Ta có: $225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2$.

  Tập hợp các thừa số nguyên tố xuất hiện trong phép phân tích là 3 và 5.

  Vậy số 225 chia hết cho các số nguyên tố: 3 và 5.

• b) Ta có: $1800 = 2 \cdot 900 = 2 \cdot 2 \cdot 450 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 225$. Thay kết quả câu a vào biểu thức, ta được: $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2$.

  Vậy số 1800 chia hết cho các số nguyên tố: 2; 3; 5.

• c) Ta có: $1050 = 2 \cdot 525 = 2 \cdot 3 \cdot 175 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 35 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 7$.

  Vậy số 1050 chia hết cho các số nguyên tố: 2; 3; 5; 7.

• d) Ta có: $3060 = 2 \cdot 1530 = 2 \cdot 2 \cdot 765 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 255 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 85 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 17$.

  Vậy số 3060 chia hết cho các số nguyên tố: 2; 3; 5; 17.

Dạng 2: Ứng dụng phân tích thừa số nguyên tố để tìm ước số

• Phương pháp giải: Ta dựa vào mối quan hệ chia hết trong một tích. Nếu số $c$ được phân tích dưới dạng tích $a \cdot b$ thì cả hai đại lượng $a$ và $b$ đều được công nhận là ước của số $c$.

Bài tập 1: Cho số tự nhiên đã được phân tích sẵn là $a = 2^3 \cdot 5^2 \cdot 11$. Hãy lập luận xem mỗi số sau đây: 4; 8; 16; 11; 20 có phải là ước của số $a$ hay không?

Lời giải chi tiết:

• Xét số 4: Ta tách biểu thức thành $a = 2^2 \cdot 2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 4 \cdot (2 \cdot 5^2 \cdot 11)$. Vì tích chứa hằng số 4 nên số $a$ chia hết cho 4. Do đó, số 4 là ước của $a$.

• Xét số 8: Ta viết biểu thức thành $a = 8 \cdot (5^2 \cdot 11)$. Vì chứa thừa số 8 nên số $a$ chia hết cho 8. Do đó, số 8 là ước của $a$.

• Xét số 16: Số 16 được viết dưới dạng lũy thừa là $2^4$. Trong khi đó, số $a$ đề bài cho chỉ chứa lũy thừa cơ số 2 với số mũ tối đa là 3 ($2^3$). Vì số mũ của cơ số 2 trong biểu thức nhỏ hơn số mũ của 16 nên số $a$ không chia hết cho 16. Do đó, số 16 không phải là ước của $a$.

• Xét số 11: Trong biểu thức của $a$ có chứa trực tiếp thừa số nguyên tố 11, do đó số 11 là ước của $a$.

• Xét số 20: Ta tách các thừa số nguyên tố để lập thành số 20: $a = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11 = (2 \cdot 2 \cdot 5) \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11 = 20 \cdot (10 \cdot 11)$. Vì tích chứa hằng số 20 nên số $a$ chia hết cho 20. Do đó, số 20 là ước của $a$.

Bài tập 2: Hãy tìm và viết tất cả các ước số của các số tự nhiên sau:

a) Số $a = 5 \cdot 13$

b) Số $b = 2^5$

c) Số $c = 3^2 \cdot 7$

Lời giải chi tiết:

• a) Giá trị số học của biểu thức là $a = 5 \cdot 13 = 65$. Các ước số của số 65 bao gồm các thừa số nguyên tố và tích của chúng.

  Tập hợp ước cần tìm là: $Ư(65) = \{1; 5; 13; 65\}$.

• b) Giá trị số học của biểu thức là $b = 2^5 = 32$. Các ước số của một số dạng lũy thừa của một số nguyên tố chính là các lũy thừa tăng dần từ mũ 0 đến mũ của chính nó.

  Tập hợp ước cần tìm là: $Ư(32) = \{1; 2; 4; 8; 16; 32\}$.

• c) Giá trị số học của biểu thức là $c = 3^2 \cdot 7 = 9 \cdot 7 = 63$. Ta thực hiện nhân tổ hợp các thừa số để tìm ước:

  Tập hợp ước cần tìm là: $Ư(63) = \{1; 3; 7; 9; 21; 63\}$.

Bài tập 3: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp tất cả các ước của chúng: 51; 75; 42; 30.

Lời giải chi tiết:

• Phân tích số 51: $51 = 3 \cdot 17$. Tập hợp ước thu được là: $Ư(51) = \{1; 3; 17; 51\}$.

• Phân tích số 75: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$. Tập hợp ước thu được là: $Ư(75) = \{1; 3; 5; 15; 25; 75\}$.

• Phân tích số 42: $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$. Tập hợp ước thu được là: $Ư(42) = \{1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42\}$.

• Phân tích số 30: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Tập hợp ước thu được là: $Ư(30) = \{1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30\}$.

Bài tập 4 (Toán đố thực tế): Bạn Tâm có tổng cộng 28 viên bi. Tâm muốn xếp đều số viên bi đó vào các túi sao cho số lượng bi ở mỗi túi đều bằng nhau. Hỏi bạn Tâm có thể chia số bi đó vào mấy túi? (Tính cả trường hợp xếp tất cả vào một túi).

Lời giải chi tiết:

Ta có công thức mối quan hệ số học:

Tổng số viên bi = (Số lượng túi chia được) $\cdot$ (Số lượng viên bi trong một túi)

Từ hệ thức tích trên, ta thấy Số lượng túi phải đóng vai trò là một ước số tự nhiên của tổng số bi là 28.

Ta tiến hành phân tích số 28 để tìm tập hợp ước:

$28 = 2^2 \cdot 7$

Tập hợp các ước của số 28 là: $Ư(28) = \{1; 2; 4; 7; 14; 28\}$.

Kết luận: Bạn Tâm có thể thực hiện xếp số viên bi đó vào lần lượt là: 1; 2; 4; 7; 14 hoặc 28 cái túi.

Bài tập 5: a) Phân tích số 111 ra thừa số nguyên tố và tìm tập hợp ước của nó.

b) Hãy tìm chữ số thích hợp để thay vào dấu sao sao cho phép tính sau hợp lệ: $\overline{} \cdot * = 111$

Lời giải chi tiết:

• a) Ta thực hiện chia số 111 cho số nguyên tố 3:

  $111 = 3 \cdot 37$

  Vì cả 3 và 37 đều là số nguyên tố nên tập hợp các ước của 111 là: $Ư(111) = \{1; 3; 37; 111\}$.

• b) Xét biểu thức đề bài cho: $\overline{} \cdot * = 111$.

  Từ cấu trúc của phép toán nhân này, ta thấy cả số hạng chứa hai chữ số $\overline{}$ và số hạng chứa một chữ số $*$ bắt buộc phải đóng vai trò là các ước số của số 111.

  Đối chiếu với tập hợp các ước vừa tìm được ở câu a, ước số có hai chữ số duy nhất của 111 chính là số 37, và ước số có một chữ số duy nhất lớn hơn 1 chính là số 3.

  Do đó, ta xác định được: số hạng $\overline{} = 37$ và số hạng $* = 3$.

  Phép tính số học hoàn chỉnh tìm được là: $37 \cdot 3 = 111$.

Dạng 3: Các bài toán nâng cao biến đổi tổ hợp tích số tự nhiên

Bài tập 1: Tìm các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán:

a) Tích của hai số tự nhiên bằng 42. Hãy tìm hai số đó.

b) Tích của hai số tự nhiên $a$ và $b$ bằng 30. Tìm giá trị của $a$ và $b$ biết điều kiện ràng buộc là $a < b$.

Lời giải chi tiết:

• a) Gọi hai số tự nhiên cần tìm là $x$ và $y$, ta có hệ thức tích: $x \cdot y = 42$. Như vậy, cặp số $(x, y)$ chính là các ước phối hợp của 42.

  Ta phân tích số 42 ra thừa số nguyên tố để tổ hợp nhóm tích:

  $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

  Từ tích trên, ta lần lượt ghép cặp để được các tổ hợp số nguyên thỏa mãn:

  Khả năng 1: Nhóm hai thừa số đầu $\rightarrow (2 \cdot 3) \cdot 7 = 6 \cdot 7$ (Hai số cần tìm là 6 và 7).

  Khả năng 2: Nhóm thừa số đầu và cuối $\rightarrow (2 \cdot 7) \cdot 3 = 14 \cdot 3$ (Hai số cần tìm là 14 và 3).

  Khả năng 3: Nhóm hai thừa số cuối $\rightarrow (3 \cdot 7) \cdot 2 = 21 \cdot 2$ (Hai số cần tìm là 21 và 2).

  Khả năng 4: Tích với số 1 $\rightarrow 1 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 7) = 1 \cdot 42$ (Hai số cần tìm là 1 và 42).

• b) Ta có biểu thức tích: $a \cdot b = 30$. Tiến hành phân tích số 30 ra thừa số nguyên tố:

  $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

  Vì đề bài bổ sung điều kiện ràng buộc chặt chẽ là số $a$ phải nhỏ hơn số $b$ ($a < b$), nên ta chủ động sắp xếp các cặp ước theo thứ tự tăng dần như sau:

  Tổ hợp 1: Chọn $a = 1 \rightarrow b = 30$

  Tổ hợp 2: Chọn $a = 2 \rightarrow b = 3 \cdot 5 = 15$

  Tổ hợp 3: Chọn $a = 3 \rightarrow b = 2 \cdot 5 = 10$

  Tổ hợp 4: Chọn $a = 2 \cdot 3 = 6$ và $b = 5$ (Loại vì vi phạm điều kiện $a < b$). Do đó ta phải đảo ngược lại là chọn $a = 5$ và $b = 2 \cdot 3 = 6$.

  Kết luận: Các cặp giá trị số $(a, b)$ thỏa mãn yêu cầu là: $(1; 30), \ (2; 15), \ (3; 10), \ (5; 6)$.